1、单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:100分钟满分:120分)一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:是无理数,结论:是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:是无限不循环小数,结论:是无理数C.大前提:是无限不循环小数,小前提:无限不循环小数是无理数,结论:是无理数D.大前提:是无限不循环小数,小前提:是无理数,结论:无限不循环小数是无理数2.(2021广西柳州一模)已知x,y满足约束条件x+y-20,x-y-2
2、0,y2,则z=2x+y的最小值为()A.2B.4C.6D.103.(2021宁夏中卫模拟)若x,yR,2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.(-,-2B.(0,1)C.(-,0D.(1,+)4.(2021内蒙古赤峰适应性考试)中国有句名言“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”取意于孙子算经中记载的算筹,古代用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位数用横式表示,依此类推.例如:7239用算筹表示就
3、是,则6728用算筹可表示为()5.(2021广西防城港模拟)观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,则52 021的末四位数字为()A.0 625B.3 125C.5 625D.8 1256.(2021江西靖安中学高三月考)用数学归纳法证明“1+12+13+12n-10,y0,且2x+1y=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的最小值是()A.2B.-4C.4D.-29.(2021山东聊城一中高三月考)某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测
4、试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示:则下面判断中不正确的是()A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B.乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前D.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前10.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据市场预测.甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目,在总投资风险不超过30%的情况下,
5、该投资人可能获得的最大盈利为()A.40万元B.50万元C.60万元D.70万元二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.11.根据事实1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;.写出一个含有量词的全称命题: .12.(2021云南曲靖质量检测)若实数x,y满足约束条件x-2y+10,x+2y+10,x-10,则z=ax+by(ab0)取最大值4时,4a+1b的最小值为.13.(2021浙江杭州高三期末)若a0,b0,且a+b=1,则a2+b2的最小值等于,a+b的最大值等于.14.(2021贵州贵阳一中高三月考)在平面几何中,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC
6、互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何中的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥P-ABC中的三个侧面PAB,PBC,PAC两两相互垂直,则.”三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(12分)(2021广西河池模拟)(1)用分析法证明:当n0时,n+2-n+10,y0,且2x+1y=1,x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy4+24yxxy=8,当且仅当4yx=xy,即x=4,y=2时取等号,x+2ym2+2m恒成立,(x+2y)minm2+2m,即8m2+2m,解不等式可得-4m2,
7、故实数m的最小值为-4.9.D解析:对于A,甲同学的逻辑思维成绩排名比较靠前,但是总排名比较靠后,说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确.对于B,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维成绩排名比较靠后,说明他的阅读表达成绩排名比逻辑思维成绩排名更靠前,故B正确.对于C,甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名顺序是甲、丙、乙,故甲同学最靠前,故C正确.对于D,丙同学的阅读表达成绩排名居中,但是甲、乙同学的阅读表达成绩排名不能具体确定,所以D错误.10.D解析:设投资甲、乙项目分别x,y万元,由题意有x+y300,0.5x+0.2y90,x0,y0,且最大盈利为30%x
8、+20%y,该投资人可能获得的最大盈利,即为以上不等式为约束条件下,求目标式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.由上图知,当直线z=0.3x+0.2y过直线x+y=300与0.5x+0.2y=90的交点(100,200)时有最大值,zmax=0.3100+0.2200=70(万元).11.nN*,1+3+5+(2n-1)=n2解析:1=12,1+(22-1)=22,1+3+(23-1)=32,1+3+5+(24-1)=42,由此可归纳得出:nN*,1+3+5+(2n-1)=n2.12.94解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示:当z=ax+by(ab0)最大时,直线y=-a
9、bx+zb在y轴截距最大,ab0,-ab0,b0,a+b=1,aba+b22=14,当且仅当a=b=12时取等号,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-12=12,当且仅当a=b=12时取等号,a2+b2的最小值为12,(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab1+a+b=2,当且仅当a=b=12时取等号,a+b的最大值为2.14.SPAB2+SPBC2+SPAC2=SABC215.证明(1)要证n+2-n+1n+1-n,即证n+2+n2n+1,即证(n+2+n)2(2n+1)2,即证2n+2+2n(n+2)4n+4,即证n(n+2)n+1,只要证n2+2nn2+2n+1,而上式显然成
10、立.所以n+2-n+1n+1-n成立.(2)假设a0且b0,则由a=x2-10得-1x1,由b=2x+20得x-1,这与-1x1矛盾,所以假设错误.所以a,b中至少有一个不小于0.16.解:(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.所以f(n+1)=f(n)+4n,f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=f(1)+4(n-1)+4(n-2
11、)+4(n-3)+4=1+4(n-1)(n-1+1)2=2n2-2n+1.(3)当n2时,1f(n)-1=12n(n-1)=121n-1-1n,所以1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+1f(n)-1=1+121-12+12-13+13-14+1n-1-1n=1+121-1n=32-12n.17.(1)解:因为an=Snn(2n-1),a1=13,所以a2=S22(22-1)=a1+a26,解得a2=115;a3=a1+a2+a33(23-1)=a1+a2+a315,解得a3=135.(2)解:由a1=113,a2=135,a3=157,猜想:an=1(2n-1)(2n+1).(3)证明
12、当n=1时,a1=13,猜想成立;假设当n=k(kN*)时猜想成立,即ak=1(2k-1)(2k+1),那么,当n=k+1时,由题设an=Snn(2n-1),得ak=Skk(2k-1),ak+1=Sk+1(k+1)(2k+1),所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)1(2k-1)(2k+1)=k2k+1,Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-k2k+1.因此k(2k+3)ak+1=k2k+1,所以ak+1=1(2k+1)(2k+3)=12(k+1)-12(k+1)+1.这就证明了当n=k+1时猜想成立.由可知猜想成立.18.解
13、:记DEF,DEP,DFP,EFP的面积依次为S1,S2,S3,S,记DE=m,DF=n,DP=p.结论1:S2=S12+S22+S32.证明:过D作DHEF,垂足为H,连接PH,DHEF,EFPD,DHPD=D,EF平面PDH,又PH平面PDH,PHEF.S12+S22+S32=(12mn)2+(12mp)2+(12np)2=14(m2n2+m2p2+n2p2),在RtDEF中,DH=DEDFEF=mnm2+n2,PH=DP2+DH2=p2+m2n2m2+n2,则S2=12EFPH2=12m2+n2p2+m2n2m2+n22=14(m2n2+n2p2+m2p2),S2=S12+S22+S32.结论2:1h2=1m2+1n2+1p2.证明:过D作DHEF,垂足为H,连接PH,则PHEF,过D作DGPH,垂足为G,设DG=h,EF平面PDH,GD平面PDH,EFGD,又DGPH,EFPH=H,GD平面PEF,即GD=h为点D到平面PEF的距离,由等体积法可得VP-DEF=VD-PEF,即1312mnp=1314(m2n2+n2p2+m2p2)h,h=mnpm2n2+m2p2+n2p2,1h2=m2n2+m2p2+n2p2m2n2p2=1m2+1n2+1p2.
