1、湖南师大附中2013届高三第六次月考数学试题(理科）（考试范围：考纲要求全部范围）时量 120分钟 总分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.如图：给定全集U和集合A,B，则如图阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D.U【答案】ABA2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】函数连续且定义域内递增，又，.3. 化简对数式得到的值为（ ） A. 1 B. 2 C. - 1 D. 【答案】C4. 已知三个向量，,共线，其中分别是的三条边和三个角，则的形状是（ ） A等腰三角形
2、B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【答案】B【解析】由三个向量，,共线及正弦定理可得：由，因为，所以，因为，所以，所以，即.同理可得，5.函数的部分图象如图示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图像，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象知, 将的图象平移个单位后的解析式为 则由：，.6.设函数（且）在上既是奇函数又是增函数，则的图象是yxoy212o1yxx-100-1yx A B C D【答案】C【解析】是奇函数，所以，即，所以， 即，又函数在定义域上单调性相同， 由函数是增函数可知，所以函数，选C.7. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为
3、 【答案】C【解析】由，得. 由，得，所以，且. 所以数列为递减的数列.所以为正，为负， 且， 则，又，所以， 所以最大的项为.8.对于定义域为0,1的函数，如果同时满足以下三个条件： 对任意的，总有 若，都有 成立； 则称函数为理想函数. 下面有三个命题：（1） 若函数为理想函数，则；（2） 函数是理想函数；（3） 若函数是理想函数，假定存在，使得，且， 则；其中正确的命题个数有（ ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】D二、 填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选作题（请考生在第9、10、 11三题中任
4、选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9. 不等式的解集为 .【解析】由：，或，或， 解得不等式的解集为：； 10. 直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .【解析】， ， 即， ， 圆心C到距离是， 直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 11. 如图，是的直径，是延长线上的一点，过作的切线，切点为，若，则的直径 【解析】因为根据已知条件可知，连接AC， 根据切线定理可知, ,可以解得为4.（二） 必做题12. 下面是关于复数的四个命题： （1）； （2）； （3）的共轭复数为； （4）的虚部为；其中所有正确的命题序号是 .【答案】（2
5、）（4）13.如果一个随机变量，则使得取得最大值的的值为 .【解析】，则只需最大即可，此时14. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 .【解析】该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，可将其补形成一个长方体，半径为，体积为. （也可直接找到球心，求出半径解决问题）15. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 .【解析】：采用系统抽样方法从960
6、人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个.16. 已知，或，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数（）令，存在m个，使得，则m= ；（）令，若，则所有之和为 【解析】：（）； （）根据（）知使的共有个=两式相加得 =三、 解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（满分12分）已知是三次函数的两个极值点，且,求动点所在的区域面积.【解析】由函数可得，, 2分由题意知，是方程的两个根， 5分且,因此得到可行,9分即,画出可行域如图. 11分 所以. 12分18、(满分12分）为迎接新年到来，某商
7、场举办有奖竞猜活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的。正确回答问题A可获得奖金元，正确回答问题B可获得奖金元。活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止。假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获救金额的期望值较大.【解析】设该参与者猜对问题A的概率为，则，猜对问题B的概率为，.1分 参与者回答问题有两种顺序：顺序一：先A后B 此时参与者获得奖金额的可能值为：， ， 从而数学期望；.5分顺序二：先B后A 此时参与者获得奖金额的可能值为：， ， 从而
8、数学期望；.9分而：，则： 当时：先回答A，当两者兼可，时先回答B.12分19、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC，又PA平面ABCD，PA4 PABCDQ（1）线段BC上存在点Q，使PQQD，求的取值范围；（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值。解法1：（）如图，连，由于PA平面ABCD，则由PQQD，必有 设，则，在中，有在中，有 在中，有NMPABCDQ即，即故的取值范围为 （）由（）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQQD，过Q作QMCD交AD于M，则QMADPA平面ABCD，PAQMQM平面PADxyzPABCDQ
9、过M作MNPD于N，连结NQ，则QNPDMNQ是二面角APDQ的平面角 在等腰直角三角形中，可求得，又，进而 故二面角APDQ的余弦值为 解法2：（）以为xyz轴建立如图的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4）， 设Q（t，2，0）（），则 （t，2，4），（ta，2，0） PQQD，0即故的取值范围为 （）由（）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQQD此时Q（2，2，0），D（4，0，0） 设是平面的法向量，由，得取，则是平面的一个法向量 而是平面的一个法向量， 二面角APDQ的余弦值为 20、（满分13分）随着私家车的逐渐增多，居民小区
10、“停车难”问题日益突出本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图.（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图所示数据计算限定高度CD的值（精确到0.1m）（下列数据提供参考：200.3420，200.9397，200.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图所示，设，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？A3米3米1.8米PBCDEOF 解：
11、(1)在ABE中，ABE=90，BAE=20,tanBAE=，又AB=10，BE=ABtanBAE=10tan203.6m，BC=0.6CE=BE-BC=3m,在CED中，CDAE，ECD=BAE=20,cosECD=,CD=CEcosECD=3cos2030.942.8m故答案为2.8m5分（2）延长与直角走廊的边相交于，如下图. ，其中.容易得到，.又， 于是，其中.8分设，则，于是. 又，因此 11分因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，故能顺利通过此直角拐弯车道 13分21、（满分13分）已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，.（1）如果直线与椭圆相交于不同的两点，
12、若，直线与直线的交点是，求点的轨迹方程；（2）过点作直线（与轴不垂直）与该椭圆交于两点，与轴交于点，若，试判断：是否为定值？并说明理由.解：（1）由已知 所以椭圆方程为. 3分依题意可设，且有又，将代入即得所以直线与直线的交点的轨迹方程是（y0）8分（2）是定值，理由如下： 9分依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，设、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得， 所以， ， 11分因为，所以，即所以，又与轴不垂直，所以，所以，同理. 12分所以.将代入上式可得. 13分22、（满分13分）设函数在上的最大值为. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任何正整数，都有成立；、 （3）若数列的前之和为，证明：对任意正整数都有成立.【解析】（1）由 当时，由得或 当时，则 当时，则 当时， 而当时，当时， 故函数在处取得最大值， 即： 综上：。6分 （2）当时，要证，即证， 而 故不等式成立.。10分 （3）当时结论成立； 当时，由（2）的证明可知： ， 从而。13分- 13 -
