1、考点突破练2三角变换与解三角形一、选择题1.(2022陕西榆林一模)角,的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O分别交于A,B两点,则OAOB=()A.cos(-)B.cos(+)C.sin(-)D.sin(+)2.(2022北京海淀一模)在ABC中,A=4,则“sin B22”是“ABC是钝角三角形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2022北京10)在ABC中,AC=3,BC=4,C=90.P为ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PAPB的取值范围是()A.-5,3B.-3,5C.-6,4D.-4,64.(2022
2、山西太原一模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为()A.23B.33C.63D.65.(2022浙江杭州4月质检)已知R,若sin 170+tan 10=33,则=()A.32B.233C.3D.4336.已知042,且sin -cos =55,sin+4=45,则sin(+)=()A.-31010B.-155C.155D.310107.若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab=()A.32B.43C.2D.38.(2022河南郑州质检)魏晋南北朝时期,中国数学的测量学取得了长
3、足进展.刘徽提出重差术,应用中国传统的出入相补原理.因其第一题为测量海岛的高度和距离,故题为海岛算经.受此题启发,某同学测量某塔的高度.如图,点D,G,F在水平线DH上,CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,测得以下数据(单位:米):前表却行DG=1,表高CD=EF=2,后表却行FH=3,表距DF=61.则塔高AB为()A.60米B.61米C.62米D.63米9.(2022陕西榆林一模)已知函数f(x)=2sin2x+3sin 2x-1,则下列结论正确的是()A.f(x)的最小正周期是2B.f(x)的图象关于点-56,0对称C.f(x)在-,-2上单调递增D.fx+
4、12是奇函数10.(2022河南开封一模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60,B=45,a=23,则ABC的面积为()A.23B.32C.1+3D.3+311.(2022河南郑州二模)在ABC中,AB=2,AC=3,BAC=60,M是线段AC上任意一点,则MBMC的最小值是()A.-12B.-1C.-2D.-412.(2022河南名校联盟一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsinC,B=3,则a+c的取值范围是()A.32,3B.32,3C.32,3D.32,3二、填空题13.函数f(x)=2sin24+
5、x-3cos 2x4x2的值域为.14.(2022陕西榆林三模)已知2sin =5cos ,则sin 2+cos2=.15.(2022浙江杭州4月质检)在RtABC中,C=90,点D在BC边上,3CD=BD.若sinBAD=35,则sinABC=.16.(2022河南开封二模)如图,某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛.已知小岛B与小岛C相距5海里,cosBAD=-45,则小岛B与小岛D之间的距离为海里;小岛B,C,D所形成的三角形海域BCD的面积为平方海里.考点突破练2三角变换与解三角形1.A解析: 由题知A(cos ,sin ),B(cos ,sin ),OAOB=cos cos +si
6、n sin =cos(-),故选A.2.A解析: 如果sin B22,由于B是三角形的内角,并且A=4,则0B4,A+B22,所以必要性不成立,故选A.3.D解析: 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).PC=1,可设P(cos ,sin ),0,2),PAPB=(3-cos ,-sin )(-cos ,4-sin )=-3cos -4sin +sin2+cos2=1-5sin(+),其中tan =34,-1sin(+)1,-4PAPB6.故选D.4.C解析: b=6,a=2c,B=3,由余弦定理b2=a2+c2-
7、2accos B,得36=4c2+c2-22cc12,即3c2=36,c=23,a=2c=43,SABC=12acsin B=12432332=63.5.D解析: sin 10=tan 30-tan 10=tan 201+33tan 10,所以=2cos10cos201+3sin103cos10=2(3sin10+3cos10)3cos20=43sin703cos20=433.6.D解析: 因为sin -cos =55,所以sin-4=1010,因为42,所以cos-4=31010.因为04,sin+4=45,所以cos+4=35,所以sin(+)=sin-4+4=101035+3101045
8、=31010.7.D解析: bsin 2A=asin B,则sin B2sin Acos A=sin Asin B,因为sin Asin B0,所以cos A=12.又因为A(0,),所以A=3.由c=2b,得sin C=2sin B=2sin23-C,化简整理得cos C=0,因为C(0,),所以C=2,B=6,故ab=sinAsinB=3212=3.故选D.8.D解析: EF为表高,EFBH,同理CDBH.根据三角形的性质可得,EFHABH,CDGABG,则3BH=2AB,1BG=2AB.BH=BD+DF+FH=BD+64,BG=BD+1,3BD+64=1BD+1,解得BD=30.5,BG
9、=31.5.AB=2BG=63.9.D解析: f(x)=-cos 2x+3sin 2x=2sin2x-6.因为T=2|=,所以A错误;因为f-56=2sin-53-6=1,所以f(x)的图象不关于点-56,0对称,所以B错误;令2k-22x-62k+2(kZ),则k-6xk+3(kZ).当k=-1时,-76x-23,所以f(x)在-,-2上不单调,所以C错误;因为fx+12=2sin2x+12-6=2sin 2x,所以fx+12是奇函数,所以D正确.10.D解析: A=60,B=45,a=23,由正弦定理asinA=bsinB,可得b=asinBsinA=232232=22,ABC的面积S=1
10、2absin C=122322sin(180-60-45)=26sin(60+45)=263222+1222=3+3.故选D.11.B解析: 由题意画图(图略),设BC的中点为D,连接AD,MD,由MBMC=14(MB+MC)2-(MB-MC)2=MD2-14CB2=MD2-14BC2,在ABC中,由余弦定理得BC2=22+32-223cos 60=7,MD的最小值为点D到AC的距离d,由SADC=12SABC,即12ACd=121223sin 60,解得d=32,所以MBMC的最小值是MD2-14BC2=34-74=-1.12.A解析: sin(A+C)cosBb+cosCc=sinAsin
11、C,B=3,cosBb+cosCc=23sinA3sinC,即ccosB+bcosCbc=23sinA3sinC,由正弦定理得2R(sinCcosB+cosCsinB)bc=23a3c(2R为ABC外接圆的直径).2Rsin(C+B)bc=23a3c,abc=23a3c,b=32.B=3,32=2Rsin B,解得2R=1,a+c=sin A+sin C=sin A+sin23-A=32sin A+32cos A=3sinA+6,0A23,6A+656,sinA+612,1,a+c32,3.13.2,3解析: 依题意,f(x)=1-cos2(4+x)-3cos 2x=sin 2x-3cos 2
12、x+1=2sin2x-3+1.当4x2时,62x-323,12sin2x-31,此时f(x)的值域是2,3.14.2429解析: 因为2sin =5cos ,所以cos 0,tan =52,所以sin 2+cos2=2sincos+cos2sin2+cos2=2tan+1tan2+1=2429.15.55解析: 作DEAB交AB于点E(图略),设CD=1,AC=a,则BD=3,AD=1+a2,AB=16+a2,在RtADE中,sinBAD=DEAD=DE1+a2=35,DE=31+a25,在RtBDE中,sinEBD=DEBD=1+a25,在RtABC中,sinABC=ACAB=a16+a2,1+a25=a16+a2,即a4-8a2+16=0,(a2-4)2=0,a=2,a=-2(舍去).sinABC=a16+a2=225=55.16.3515解析: 圆的内接四边形对角互补,cos C=cos(-A)=-cos A=45,sin C=1-cos2C=35,在BCD中,由正弦定理得BDsinC=BD35=55,BD=35.在BCD中,由余弦定理得(35)2=CD2+52-2CD545,整理得CD2-8CD-20=0,(CD+2)(CD-10)=0,CD=10或CD=-2(舍去).SBCD=1210535=15.
