1、第九节函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)(2)反比例函数模型：yb(k，b为常数且k0)(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(4)指数函数模型：yabxc(a，b，c为常数，b0，b1，a0)(5)对数函数模型：ymlogaxn(m，n，a为常数，a0，a1，m0)(6)幂函数模型：yaxnb(a0)2三种函数模型之间增
2、长速度的比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1(思考
3、辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()(1)(2)(3)(4)2已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A100只B200只C300只D400只B3(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接
4、近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y2xBylog2xCy(x21)Dy2.61cos xB4一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为() 【导学号：31222069】B5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_1用函数图象刻画变化过程(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确
5、的是()ABCD(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是() 【导学号：31222070】ABCD(1)A(2)D判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息
6、10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()D应用所给函数模型解决实际问题某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291.(注：利润和投资单位：万元)图291(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？(1)f(
7、x)0.25x(x0)，g(x)2(x0).3分(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以总利润y8.25万元.5分设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元则y(18x)2，0x18.7分令t，t，则y(t28t18)(t4)2.所以当t4时，ymax8.5，9分此时x16,18x2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警示：解决实际问
8、题时要注意自变量的取值范围(2017西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为()A11.5元B11元C10.5元D10元A构建函数模型解决实际问题(1)(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.1
9、20.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2018年B2019年C2020年D2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价收费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.(1)B(2)9构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建f(x)x(a
10、0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制(2016宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元2 5001认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合
11、理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性课时分层训练(十二)函数模型及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： 【导学号：31222071】x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2Dylog2 xD2某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118元B105元C106元D108元D3一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口
12、的进、出水速度如图292甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. 【导学号：31222072】图292给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()ABCDA4将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为()A85元B90元C95元D100元C20，当x95时，y最大5(2016四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再
13、过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为()A5B8 C9D10A二、填空题6在如图293所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m. 【导学号：31222073】图293207某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)88(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22
14、的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时24三、解答题9为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值(1)由已知条件得C(0)8，则k40，2分因此f(x)6x20C(x)6x(0x10).5分(2)f(
15、x)6x101021070(万元)，7分当且仅当6x10，即x5时等号成立，10分所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.12分10国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？(1)设旅行团人数为x，由题得00)(1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5 ；(2)若物体的温度总不低于2 ，求m的取值范围(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，2分令2tx(x1)，则x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，2t2，即t1，经过1 min，物体的温度为5 .5分(2)物体的温度总不低于2 ，即2恒成立，即m2t2恒成立，亦即m2恒成立.7分令x，则0x1，m2(xx2).10分xx22，m.因此，当物体的温度总不低于2 时，m的取值范围是.12分
