1、5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用 考纲解读 考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度 1.向量数量积的定义及长度、角度问题 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2.掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示 3.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 4.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 5.理解数量积的性质,并能运用 2017 课标全国,13;2017 课标全国,13;2016 课标全国,3;2016 课标全国,13;2016 北京,9;2015 课标,4 选择题、来源:Zxxk.Com来源:学#科#网 填空题 2.向量数量积的综合应用 1.能运用数
2、量积解决两向量的夹角问题和长度问题 2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系 3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题 2017 天津,14;来源:学*科*网 Z*X*X*K来源:学*科*网Z*X*X*K 2017 北京,12;2017 江苏,12;2013 课标,13 分析解读 高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何、平面向量等 知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.五年高考 考点一
3、 向量数量积的定义及长度、角度问题 1.(2016 课标全国,3,5 分)已知向量 =(),=(),则ABC=()A.30 B.45 C.60 D.120 答案 A 2.(2015 课标,4,5 分)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C 3.(2015 北京,6,5 分)设 a,b 是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 4.(2015 湖南,9,5 分)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 ABBC.若
4、点 P 的坐标为(2,0),则|+|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B 5.(2014 课标,4,5 分)设向量 a,b 满足|a+b|=,|a-b|=,则 ab=()A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A 6.(2017 课标全国,13,5 分)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=.答案 7 7.(2017 课标全国,13,5 分)已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 ab,则 m=.答案 2 8.(2016 北京,9,5 分)已知向量 a=(1,),b=(,1),则 a 与 b 夹角的大小为 .答案 9.(201
5、5 湖北,11,5分)已知向量 ,|=3,则 =.答案 9 10.(2014 陕西,18,12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上,且 =m +n (m,nR).(1)若 m=n=,求|;(2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.解析(1)m=n=,=(1,2),=(2,1),=(1,2)+(2,1)=(2,2),|=2.(2)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),两式相减,得 m-n=y-x.令 y-x=t,由图 知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取
6、得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1.教师用书专用(1125)11.(2014 大纲全国,6,5 分)已知 a、b 为单位向量,其夹角为 60,则(2a-b)b=()A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 B 12.(2014 湖南,10,5 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点 D 满足|=1,则|+|的取值范围是()A.4,6 B.-1,+1 C.2,2 D.-1,+1 答案 D 13.(2014 山东,7,5 分)已知向量 a=(1,),b=(3,m).若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m=()A.2 B.C.0 D.-答案 B 14.
7、(2014 浙江,9,5 分)设 为两个非零向量 a,b 的夹角.已知对任意实数 t,|b+ta|的最小值为 1.()A.若 确定,则|a|唯一确定 B.若 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 唯一确定 D.若|b|确定,则 唯一确定 答案 B 15.(2013 湖北,7,5 分)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量 在 方向上的投影为()A.B.C.-D.-答案 A 16.(2013 福建,10,5 分)在四边形 ABCD 中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()A.B.2 C.5 D.10 答案 C 17.(2013 湖南,
8、8,5 分)已知 a,b 是单位向量,ab=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()A.-1 B.C.+1 D.+2 答案 C 18.(2017 浙江,15,5 分)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .答案 4;2 19.(2016 山东,13,5 分)已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a(ta+b),则实数 t 的值为 .答案-5 20.(2016 课标全国,13,5 分)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 ab,则 x=.答案-21.(2015 浙江,13,4 分)已知 e1,e2
9、是平面单位向量,且 e1e2=.若平面向量 b 满足 be1=be2=1,则|b|=.答案 22.(2014 湖北,12,5 分)若向量 =(1,-3),|=|,=0,则|=.答案 2 23.(2014 江西,12,5 分)已知单位向量 e1,e2的夹角为,且 cos=,若向量 a=3e1-2e2,则|a|=.答案 3 24.(2013 重庆,14,5 分)在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数 k=.答案 4 25.(2013 安徽,13,5 分)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为 .答案-考点二 向
10、量数量积的综合应用 1.(2017 浙江,10,5 分)如图,已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O.记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I10),且 ab=0,点 P(m,n)在圆 x2+y2=5 上,则|2a+b|=()A.B.4 C.4 D.3 答案 A 12.(2016 湖南十校联考,5)在平行四边形 ABCD 中,=(2,-1),=(1,3),则平行四边形 ABCD 的面积为()A.B.7 C.D.6 答案 C B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:65 分 时
11、间:45 分钟)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2018 湖南师大附中 12 月月考,8)已知半径为 4 的圆 O 是ABC 的外接圆,且满足 +=0,则 在 方向上的投影为()A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案 A 2.(2018 河北衡水中学四调,10)设向量 a=(cos 25,sin 25),b=(sin 20,cos 20),若 t 是实数,且 u=a+tb,则|u|的最小值为()A.B.C.1 D.答案 B 3.(2018 江西南昌二中期中模拟,8)如图,O 为ABC 的外心,AB=4,AC=2,BAC 为钝角,M 是边 BC 的中点,则 的值为()A.4 B
12、.5 C.6 D.7 答案 B 4.(2018 湖南五市十校 12 月联考,12)在ABC 中,AB=3AC=9,=,点 P 是ABC 所在平面内一点,则当 +取得最小值时,=()A.-24 B.6 C.D.24 答案 D 5.(2017 辽宁葫芦岛六校联考,3)同一平面内,非零向量 a,b,c 两两夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则 a+b+c=()A.B.5 C.5 或 6 D.或 6 答案 D 6.(2017 湖南郴州质量监测,9)已知 A,B 是单位圆 O 上的两点(O 为圆心),AOB=120,点 C 是线段 AB 上不与 A、B 重合的动点.MN是圆 O 的一条直径
13、,则 的取值范围是()A.-)B.-1,1)C.-)D.-1,0)答案 A 7.(2016 湖南衡阳模拟,9)在ABC 中,C=90,且|=|=3,点 M 满足 =2 ,则 =()A.6 B.4 C.3 D.2 答案 C 二、填空题(共 5 分)8.(2017 宁夏银川一中月考,15)设 a=(4,3),a 在 b 方向上的投影为 ,b 在 x 轴正方向上的投影为 2,且 b 对应的点在第四象限,则 b=.答案(-)三、解答题(共 25 分)9.(2018 河南中原名校联盟第四次测评,19)在ABC 中,满足 ,M 是 BC 的中点.(1)若|=|,求向量 +2 与向量 2 +的夹角的余弦值;
14、(2)若 O 是线段 AM 上任意一点,且|=|=,求 +的最小值.解析(1)设向量 +2 与向量 2 +的夹角为,因为 ,所以 =0,所以 cos=,设|=|=a(a0),则 cos=.(5 分)(2)|=|=,|=1,设|=x(0 x1),则|=1-x.(8 分)因为 +=2 ,所以 +=(+)=2 =2|cos=2x2-2x=2(-)-.因为 0 x1,所以当且仅当 x=时,+取最小值-.(12 分)10.(2016 江西四校联考,17)已知向量 a=(1,2),b=(-2,x).(1)当 ab 时,求 x 的值;(2)若向量 a 与 4a+b 的夹角是锐角,求|b|的取值范围.解析(1
15、)ab,ab=-2+2x=0,x=1.(2)由题意知,4a+b=(2,8+x).a 与 4a+b 的夹角是锐角,a(4a+b)0 且 a 与 4a+b 不能同向.由 a(4a+b)0,得 2x+180,解得 x-9,若 a 与(4a+b)共线,则 22=8+x,x=-4.此时 4a+b=(2,4)=2a,x-4.由得 x-9 且 x-4,x20.又|b|=,|b|2.即|b|的取值范围为2,+).C 组 20162018 年模拟方法题组 方法 1 求平面向量模长的方法 1.(2018 辽宁六校协作体期初联考,11)已知 O 为坐标原点,向量 =(3,1),=(-1,3),=m -n (m0,n
16、0),若 m+n1,2,则|的取值范围是()A.,2 B.,2 )C.(,)D.,2 答案 B 2.(2016 辽宁抚顺一中月考,7)已知向量 a=(-1,2),b=(3,-6),若向量 c 满足 c 与 b 的夹角为 120,c(4a+b)=5,则|c|=()A.1 B.C.2 D.2 答案 D 3.(2017 江西六校联考,17)已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 .(1)求|a+2b|;(2)若向量 a+2b 与 ta+b 垂直,求实数 t 的值.解析(1)向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 ,|a+2b|=2.(2)向量 a+
17、2b 与 ta+b 垂直,(a+2b)(ta+b)=0,ta2+(2t+1)ab+2b2=0,4t+(2t+1)21cos +2=0,解得 t=-.方法 2 求平面向量夹角的方法 4.(2018 湖南益阳、湘潭调研,15)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量 a,b 的夹角为,则 tan=.答案-5.(2017 吉林九校联考,14)已知 e1,e2 是夹角为 120的单位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且 b 在 a 方向上的投影为-1,向量 a 与 b 的夹角为,则 cos=.答案-6.(2016 四川资阳第一次模拟,14)已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量 a+b 与 a-b 的夹角为 .答案 方法 3 用向量法解决平面几何问题的方法 7.(2017 山东质检,8)在ABC 中,已知向量 =(cos 18,cos 72),=(2cos 63,2cos 27),则ABC 的面积等于()A.B.C.D.答案 A 8.(2018 豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD=BC=AB=D C=2,点 E,F 分别为线段 AD,BC 的三等分点,O 为 DC的中点,则 =.答案-
