1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年高考数学走出题海之黄金30题系列 专题二 新题精选30题1在中，“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.2计算：ABC5D15【答案】A【解析】试题分析：由换底公式得，故答案为A.3若，则ABCD2 【答案】C【解析】试题分析：，因此得，由于，因此，由于，又由于，得，故答案为C.4设、分别为双曲线C：，的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满
2、足，则该双曲线的离心率为ABCD （第7题）O【答案】A5一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 （第2题）侧视图正视图俯视图22ABCD【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一圆锥通过轴截面的半圆锥，底面直径为2，半径为1，高为1，体积，故答案为.6已知，实数满足：，若的最小值为1，则 A2B1CD【答案】C【解析】试题分析：不等式对应的区域如图阴影部分，由，得，表示的是斜率是截距为的平行直线，由图可知，当直线经过点C时，截距最小，此时最小，由，得即，由于C点也在上，得，故答案为C.7已知圆的弦AB的中点为，直线AB交x轴于点P，则A4B5C6D8 【答案】B【解析】试题分
3、析：圆配方得，圆心坐标，半径，因此直线的方程为，即，即，设，因此，由于在圆上，联立，得，代入得，故答案为B.8已知是抛物线上一点，则“”是“点到抛物线焦点的距离不少于”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：充分性：当“”时，根据抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离等于其到准线的距离：；必要性：当“点到抛物线焦点的距离等于其到准线的距离不少于”所以解得：，所以答案为B.9在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）A B2 C D4【答案】B【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，得到：即：，解得：，由余弦定理得：解
4、得：，根据正弦定理得三角形外接圆的半径为：，所以答案为：B.10定义，设实数满足约束条件，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，经可行域画出图形，可知为封闭区域且顶点坐标分别为:当时,分别代入目标函数得到：，当时，分别代入目标函数得到：，综上的取值范围为：.（解法二：平移）11函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为 （ ）A2 B4 C8 D16 【答案】C【解析】试题分析：根据对数函数的性质，知，根据点在直线上，所以有：即：，所以当时，（当且仅当“”即：时取“”），所以答案为C.12设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成
5、立，则称为函数的“类对称点”，则的“类对称点”的横坐标是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：函数在其图像上一点处的切线方程根据求导得到：，由此能推导出，根据求导得到：存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标.13已知函数，若在上任取一个实数，则不等式成立的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：，所求概率为14若执行如下图所示的程序框图，则输出的（ ）A20 B14 C10 D7【答案】C.【解析】试题分析：依次执行程序框图中的语句，可得：，；，；，；，；，；，又当时，跳出循环，而，输出的15已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关
6、于原点对称，则函数的图象（ ）A. 关于直线对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于点对称【答案】B.【解析】试题分析：最小正周期为，向右平移个单位后得到，又函数图象关于原点对称，又，当时，A，C错误，当时，B正确，D错误16已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：由题意，将圆的方程化为标准方程：，圆心坐标，半径，如图，显然当为直径最长，即，而当时最短，.17已知某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 16 B.32 C.48 D.144【答案】C.【解析】试题分析：由题意可得，该几何体为
7、为四棱锥，.18已知实数，满足，则函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】试题分析：，又，从而由零点存在定理可知在区间上存在零点19已知实数，满足条件，若目标函数的最小值为5，则其最大值为（ ）A.10 B.12 C.14 D.15【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的平面区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，当，时，.20已知点为双曲线的对称中心，过点的两条直线与的夹角为，直线与双曲线相交于，直线与双曲线相交于点，若使成立的直线与有且只有一对，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】试题分析：分
8、析题意可知，与的斜率都存在，设：，双曲线方程，联立方程可得，同理，又，显然，与夹角为，不妨，或，又满足条件的，只有一对，或仅有一值能符合方程，.21已知数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）A-30B-60C90D120【答案】D.【解析】试题分析：由题意可得，当时，当时，当时，当时，.22.在中，三内角，的对边分别为，面积为，若，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：，由余弦定理可得，联立，可得23的展开式中的系数为（ ）A. -100 B.-15 C.35 D.220【答案】A.【解析】试题分析：由二项式定理可得，展开式第项，的系数为，的系数为，的展开式中的系数为
9、24安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】试题分析：由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1-3天，第2-4天，第3-5天，第4-6天四种情况，所求概率25已知双曲线：，斜率为1的直线过双曲线的左焦点且与该曲线交于，两点，若与向量共线，则双曲线的离心率（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，可将直线方程设为，代入双曲线的方程并化简可得，设，又与共线，26设函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A
10、. B. C. D.【答案】C.【解析】试题分析：由题意分析可知条件等价于在上单调递增，又，当时，结论显然成立，当时：则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，综上，实数的取值范围是27（本小题满分13分）已知，分别是的角，所对的边，且，.（1）若的面积等于，求，；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）利用条件中结合余弦定理可得，再由的面积等于可得，联立方程即可求解；（2）将条件中的等式作三角恒等变形为，分，两种情况分类讨论即可求解.试题解析：（1），由余弦定理得，的面积等于，联立；（2），当时，当时，由正弦定理得，联立，解得，即，又，综上所述，或.28（本小
11、题满分12分）已知正项数列的前项和为，对，有.（1）求数列的通项公式；（2）令，设的前项和为，求，中有理数的个数.【答案】（1）；（2）.29（本小题满分12分）如图，四边形中，分别在，上，现将四边形沿折起，使平面平面（1）若，是否在折叠后的线段上存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（2）求三棱锥的体积的最大值，并求此时二面角的余弦值【答案】（1）存在；（2）体积的最大值为，.【解析】试题分析：（1）首先利用线面垂直的判定可证得平面，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量，即可求解；（2）设，即可建立关于的函数关系式，从而可得的最大值，再求得平面与平面的法向量，即可求解
12、.试题解析：平面平面，平面平面，平面，又平面，在折起过程中，同时，平面，故以为原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系（如图）（1）若，则各点坐标如下：，平面的法向量可为，若平面，则必有，即，上存在一点，且，使得平面；（2）设，故，当时，有最大值，且最大值为，设平面的法向量，则，即，不妨令，则，则，设平面的法向量，则，即，令，则，则，二面角的余弦值为.30（本小题满分12分）为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子
13、”（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用表示所选3人中“高个子”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望【答案】（1）；（2）的分布列如下：.【解析】试题分析：（1）用事件表示至少有一名“高个子”被选中，则其对立事件表示没有一名“高个子”被选中，求对立事件的概率，即可求解；（2）根据题意可知，服从二项分布，从而利用独立重复试验概率的求解，即可得的概率分布及其期望.试题解析：（1）根据茎叶图，有“高个子”人，“非高个子”人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，选中的“高个子”有人，“非高个子”有人，用事件表示至少有一名“高个子”被选中，则其对立事件表示没有一名“高个子”被选中，则，因此至少有一人是“高个子”的概率是；（2）依题意，抽取名学生中名是“高个子”，抽取一名学生是“高个子”的频率为，频率当作概率，那么从所有高中生中抽取一名学生是“高个子”的概率是，又所取总体数量较多，抽取名学生看成进行次独立重复试验，服从二项分布，的取值为，的分布列如下：（或）.- 17 - 版权所有高考资源网
