1、2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学甲卷注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5考试结束后，请将本试卷和答题一并上交。一、选择题：
2、本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（）ABCD【解析】由题设，.故选：C2某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：90，91)，91，92)，92，93)，93，94)，94，95)，95，96，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是（）Ab0.25B长度落在区间93，94)内的个数为35C长度的中位数一定落在区间93，94)内D长度的众数一定落在区间93，94)内【解析】对于A，由频率和为1，得，解得，所以A正确.对于B，长度落在
3、区间内的个数为，所以B正确.对于C，有个数，内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间内，所以C正确.对于D，根据频率分布直方图不能判断长度的众数一定落在区间内，所以D错误.故选:C.3若复数满足（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A的虚部为BCD在复平面内对应的点在第二象限【解析】因为，所以，所以的虚部为，故A错误；，故B正确；，故C错误；在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，故D错误.故选：B.4根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，已知从数量级的角度考虑，下列各数中与最接近的是（）ABCD【解析】由题意 ，两边取对数得: ，
4、 ，显然D与 最接近，故选：D.5已知点，分别为双曲线的左右焦点，以为直径作圆与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为（）A3B4C5D6【解析】因为点P为以为直径的圆与双曲线的右支的交点，所以，结合，得，又因为点P在以为直径的圆上，所以，即，所以，整理得，解得（舍去），或，所以双曲线的离心率.故选：C6已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，在给出的个平面图中，该几何体的主视图、侧视图、俯视图的序号依次是（）A（1）（4）（3）B（1）（2）（3）C（3）（2）（1）D（3）（4）（1）【解析】由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；（1）为正视图，（
5、2）为侧视图，（3）俯视图，故选：B.7已知直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】因为直线与圆相交于A，B两点，设圆心到直线的距离为d，则等价于：，即，所以，解得：或.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B8如图，已知、四点在同一条直线上，且面PAD与地面垂直，在山顶点测得点、的俯角分别为、，并测得，现欲沿直线开通穿山隧道，则隧道的长为（）ABCD【解析】由题意可知，所以，因为，所以在中，由正弦定理得，即，解得，所以在直角三角形中，所以，故选：C9已知角满足，则的值为（）A或BC3D3或【解析】由，所以，当时，所以
6、；当时，所以，所以的值为或，故选：A.10甲、乙、丙三人参加社区义工活动，每人从编号为1到6的社区中任选一个，所选社区编号数各不相同且不相邻，则不同的选择方案的种数为（）A12B24C36D48【解析】问题可看做是将3个不同元素与3个完全一样的元素排成一列，且三个不同元素不相邻的问题.第一步，将3个相同元素排成一列，共1种方法；第二步，将三个不同元素插入到4个空位中，共种方法.所以不同的选择方案共有24种.另解：依题意，因为甲、乙、丙三人所选社区编号各不相同且不相邻，所以先找三人所选社区编号，三人所选社区编号有1，3，5；1，3，6；1，4，6；2，4，6四种情况，然后在每种情况下安排甲、乙、
7、丙三人有种情况，所以不同的选择方案共有种.故选：B.11如图，三棱锥VABC中，VA底面ABC，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）ABCD【解析】因为VA底面ABC，底面ABC，所以，又因为，所以，而，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为，因为，所以，因为，所以，由三棱锥的体积公式可得：，所以，故选：C12已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，下列命题正确的是（）AB函数在定义域上是周期为2的函数C直线与函数的图象有2个交点D函数的值域为【解析】函数是上的奇函数，由题意可得，当时，A选项正确；当时
8、，则，则函数不是上周期为的函数，B选项错误；若为奇数时，若为偶数，则，即当时，当时，若，且当时，当时，则，当时，则，所以，函数在上的值域为，由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；如下图所示：由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，当或时，此时，函数与函数没有交点，则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则曲线在点处的切线方程为_.【解析】因为，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即14已知，则_.【解析】因为，所以，而，所以，即，解得.15已知椭圆的左，右焦点分别为，过
9、点与x轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点，则三角形的内切圆的半径为_.【解析】由椭圆的方程可得，又，所以，所以可得左焦点，右焦点，因为过点且垂直于轴的直线与椭圆相交于，所以，即，所以，设内切圆的半径为，则，可得，所以可得16将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则_【解析】由函数的图象向右平移，可得不妨设取得最大值，取得最小值，可得，的最小值为，即得或三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17(12分)从某地区高中二年级学生
10、中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.数学得分注意力集中水平得分120分以下120分以上（含120分）500分以上（含500分）100180500分以下15070(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高，试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？(2)若从上述样本数学得分在120分以下的学生中，按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取
11、5名学生，再从这5名学生中随机抽取3人，求3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的概率.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828（，其中）【解析】(1)由列联表中数据计算可得，的观测值为所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关.(2)数学得分在120分以下且注意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为100人和150人，所以按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取5名学生，可得注意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为2人和3人，分别记为“甲”、“乙”和“A”“B”“C”.从这
12、5名学生中随机抽取3人，有（甲，乙，A），（甲，乙，B），（甲，乙，C），（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共10种可能，其中3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的有（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共7种可能.故3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的概率.18(12分)已知数列的前n项和为，在，这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)求的通项公式：(2)若，求数列的前n项和【解析】(1)若选，则，当时，当时，符合上式，所
13、以；若选，当时，两式相减，得，即， 又，所以，所以，所以数列是首项为1，公比为等比数列，所以；若选，数列满足，当时，两式相减，可得，所以，当时，符合上式，所以；(2)，又，所以数列是以0为首项，为公差的等差数列，所以.19(12分)如图所示，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的菱形，(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的大小【解析】(1)证明：平面平面，面面，且，面，平面，面，由菱形性质知，平面，又平面，平面平面(2)如图，设的中点为，平面平面，面面，且，平面面，又，所以两两互相垂直，所以以点为原点，以直线为轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得，设平面的一个法向量为，而，由，
14、得，取，得，设平面的一个法向量为，且，由，得，取，得，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以，故平面与平面所成锐二面角为20(12分)已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点(1)求双曲线C的方程；(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，即又因为右焦点F的坐标为，所以，又由，解得，所以，所以双曲线C的方程为(2)存在定值，使得因为与同向，所以，由题意，可设直线，联立方程组，整理得，设，可得，由直线分别交
15、双曲线C的左、右两支于A、B两点，可得，即，可得，所以由，可设，由，整理得设 ，则，所以，则，所以，故存在定值，使得21(12分)已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，满足，且，求实数a的取值范围【解析】(1)函数的定义域为，当时，在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)，又，则令，即方程在上有解令，则，当时，在上单调递减，又，则在上恒成立，不合题意；当时，令，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且，所以当时，当时，；则时，而令，则，令，则在上单调递减，则在上单调递减，即，故存在，使得
16、，故满足题意综上所述，实数a的取值范围是（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是(1)分别写出的普通方程与的直角坐标方程；(2)将曲线绕点按逆时针方向旋转90得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值【解析】(1)由题得，进而代入消去参数得曲线的普通方程为；对方程两边同乘以得，所以根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系得的直角坐标方程为(2)由（1）知曲线表示直线，倾斜角为，所以曲线为直线，倾斜角为，过点所以曲线的参数方程为（为参数），代入曲线得，设A，B两点的参数分别为，则所以得.所以.23选修4-5：不等式选讲 (10分)已知函数.(1)画出的图象，若与的图象有三个交点，求实数m的取值范围；(2)已知函数的最大值为 n，正实数a，b，c满足，求证：a+2b+3c3.【解析】(1)当时，当时，当时，则，的图象如图所示：可以看成向上或向下平移得到，如图所示，由图可知，实数的取值范围为.(2)由（1）可知函数的最大值为，则，即，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，故.
