1、平面与平面垂直(一)【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A相等 B互补C相等或互补 D关系无法确定【解析】选D.如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定2对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n【解析】选C.因为n，mn，所以m.因为m，由面面垂直的判定定理，所以.3空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，则
2、()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBCD平面ADC平面DBC【解析】选D.因为BCAD，ADBD，BCBDB，所以AD平面BCD.因为AD平面ADC，所以平面ADC平面DBC.4从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是()A60 B120C60或120 D不确定【解析】选C.因为PE，PF，所以P，E，F三点确定的平面垂直于和.过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知lOF且P，E，O，F四点共面，则FOE为二面角的平面角，如图所示此时，FOEEPF180，所以二面角l的平面角为120.当点P
3、的位置如图所示时，此时FOEEPF，所以二面角l的平面角为60.二、填空题(每小题5分，共10分)5(2021北京高一检测)阅读下面题目及其证明过程，在横线处填写上正确结论如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC平面BDE.证明：因为PO底面ABCD，所以POBD.又因为ACBD，且ACPOO，所以_又因为BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE.【解析】因为PO底面ABCD，所以POBD.又因为ACBD，且ACPOO，所以BD平面PAC.又因为BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE.答案：BD平面PAC6在
4、三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为_【解析】取AB中点M，连接PM，MC，则PMAB，CMAB，所以PMC就是二面角PABC的平面角在PAB中，PM1，同理MC1，则PMC是等边三角形，所以PMC60.答案：60三、解答题(每小题10分，共20分)7如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.【证明】由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC
5、，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.【加固训练】 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ACCC16，M是棱CC1的中点求证：平面AB1M平面ABB1A1；【证明】连接A1B交AB1于O，连接MO，易得O为A1B，AB1的中点因为CC1平面ABC，AC平面ABC所以CC1AC.又M为CC1中点，ACCC16，所以AM3.同理可得B1M3，所以MOAB1.连接MB，同理可得A1MBM3，所以MOA1B.又AB1A1BO，AB1，A1B平面ABB1A1，所以MO平面ABB1A1，又MO平面AB1M，所以平面AB1M平面ABB1A1.8如图所示，在ABC中，ABB
6、C，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小【解析】因为E为SC的中点，且SBBC，所以BESC.又DESC，BEDEE，所以SC平面BDE，所以BDSC.又SA平面ABC，可得SABD，SCSAS，所以BD平面SAC，从而BDAC，BDDE，所以EDC为二面角EBDC的平面角设SAAB1，在ABC中，因为ABBC，所以SBBC，AC，所以SC2.在RtSAC中，DCS30，所以EDC60，即二面角EBDC为60.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，
7、若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为()A30 B60C30或150 D60或120【解析】选D.如图因为AB，所以ABl，因为BC，所以BCl，所以l平面ABC，设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角，因为AB6，BC3所以BAC30所以ADB60，所以二面角大小为60或120.2(多选题)在棱长都相等的四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC【解析】选ABD.可画出对应图形，如图所示，则BCDF，又DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，
8、故A成立；由AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，DFPE，所以DF平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，所以平面ABC平面PAE，故D成立二、填空题(每小题5分，共10分)3如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，SA平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则图中一定与平面PBD垂直的平面是_【解析】因为在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，所以BDAC.因为SA平面ABCD，所以SABD.因为SAACA，所以BD平面SAC.因为BD平面PBD，所以平面PBD平面SAC.答案：平面SAC4将锐角A为60，边长为a的菱形沿BD折成60的二面角，则折叠
9、后A与C之间的距离为_【解析】设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BDCE，BDA1E.于是A1EC为二面角A1BD C的平面角故A1EC60.因为A1ECE，所以A1EC是等边三角形所以A1ECEA1Ca.答案：a三、解答题(每小题10分，共20分)5如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA14，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点(1)求三棱锥EAFM的体积；(2)求证：平面B1D1E平面C1MN.【解析】(1)因为AB侧面BCC1B1，所以AB平面EFM，又因为M，E分别为BB1，CC1的中点，所以四边形MBCE为
10、正方形，所以MEF的面积为SMEFMEMB222.所以三棱锥AEFM的体积为V三棱锥AEFMSMEFAB22，所以三棱锥EAFM的体积为.(2)长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形BCC1B1是矩形，因为E、M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB14，B1C12，所以四边形MEC1B1是正方形，所以C1MB1E，又N，M分别为棱AA1，BB1的中点，所以NM平面BCC1B1，又B1E平面BCC1B1，所以NMB1E，又因为NMC1MM，NM，C1M平面C1MN，所以B1E平面C1MN，又B1E平面B1D1E，所以平面B1D1E平面C1MN.6如图，在三棱台DEFABC中， AB2DE，G，
11、H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.【证明】(1)如图所示，连接DG，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，所以AC2DF.因为G是AC的中点，所以DFGC，且DFGC，所以四边形CFDG是平行四边形，所以DMMC.因为BHHC，所以MHBD.又BD平面FGH，MH平面FGH，所以BD平面FGH.(2)因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.因为ABBC，所以GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.因为CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.
