1、上海市曹杨二中2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)一、填空题:(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)1.已知向量,且与垂直,则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x的值【详解】;故答案为:【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算,属于基础题2.若角的终边经过点,则实数的值为_.【答案】.【解析】【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得,另一方面,由三角函数定义得,解得,故答案为:.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义,解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值,
2、并利用三角函数的定义求参数的值,考查计算能力,属于基础题.3.已知向量,则的单位向量的坐标为_.【答案】.【解析】【分析】由结论“与方向相同的单位向量为”可求出的坐标.【详解】,所以,故答案为:.【点睛】本题考查单位向量坐标的计算,考查共线向量的坐标运算,充分利用共线单位向量的结论可简化计算,考查运算求解能力,属于基础题.4.在等差数列中,则的值为_.【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为,根据题中条件建立、的方程组,求出、的值,即可求出的值.【详解】设等差数列的公差为,所以,解得,因此,故答案为:.【点睛】本题考查等差数列的项的计算,常利用首项和公差建立方程组,结合通项公式以及求和公式
3、进行计算,考查方程思想,属于基础题.5.若、为单位向量,且,则向量、的夹角为_.(用反三角函数值表示)【答案】.【解析】【分析】设向量、的夹角为,利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值,利用反三角函数可求出的值.【详解】设向量、的夹角为,由平面向量数量积的运算律与定义得,因此,向量、的夹角为,故答案为:.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角,解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律,考查运算求解能力,属于中等题.6.已知向量,则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】计算出,利用辅助角公式进行化简,并求出的最大值,可得出的最大值.【详解】,所以,当且仅当,即当,等
4、号成立,因此,的最大值为,故答案为:.【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算,涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.7.若,且,则是第_象限角.【答案】三【解析】【分析】利用二倍角公式计算出的值,结合判断出角所在的象限.【详解】由二倍角公式得,又,因此,是第三象限角,故答案为:三.【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系,考查了二倍角公式,对于角的象限与三角函数值符号之间的关系,充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.8.已知是边长为的等边三角形,为边上(含端点)的动点
5、,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】取的中点为坐标原点,、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系,设点的坐标为,其中,利用数量积的坐标运算将转化为有关的一次函数的值域问题,可得出的取值范围.【详解】如下图所示:取的中点为坐标原点,、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系,则点、,设点,其中,因此,的取值范围是,故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围,可以利用基底向量法以及坐标法求解,在建系时应充分利用对称性来建系,另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴,可简化运算,考查运算求解能力,属于中等题.9.设当时,函数取得最大值,则_.【答案】;【解析】f(x)sin x2cos
6、 xsin(x),其中sin ,cos ,当x2k(kZ)时,函数f(x)取得最大值,即2k时,函数f(x)取到最大值,所以cos sin .10.走时精确的钟表,中午时,分针与时针重合于表面上的位置,则当下一次分针与时针重合时,时针转过的弧度数的绝对值等于_.【答案】.【解析】【分析】设时针转过的角的弧度数为,可知分针转过的角为,于此得出,由此可计算出的值,从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为,由分针的角速度是时针角速度的倍,知分针转过的角的弧度数的绝对值为,由题意可知,解得,因此,时针转过的弧度数的绝对值等于,故答案为:.【点睛】本题考查弧度制的
7、应用,主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系,考查分析问题和计算能力,属于中等题.11.如图,为内一点,且,延长交于点,若,则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由,得,可得出,再利用、三点共线的向量结论得出,可解出实数的值.【详解】由,得,可得出,由于、三点共线,解得,故答案为:.【点睛】本题考查三点共线问题的处理,解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用,考查运算求解的能力,属于中等题.12.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: ,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,满足,,则_.【答案】【解析】【分析】设的角、的对边分别为、,在内取点,使得,设,利用余弦定理得出的三
8、边长,由此计算出的面积,再利用可得出的值.【详解】设的角、的对边分别为、,在内取点,使得,设,由余弦定理得,同理可得,则,的面积为,另一方面,解得,故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理的应用,问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理,并转化为三角形的面积来进行计算,考查化归与转化思想以及数形结合思想,属于中等题.二、选择题(每题5分,满分20分)13.已知等差数列的公差,若的前项之和大于前项之和,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数列的前项和为,由并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项.【详解】设等差数列的前项和为,由,得,可得,故选:C.【点睛】本题考查等差数
9、列性质的应用,解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质,可以简化计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.14.已知数列满足,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由,得,然后根据递推公式逐项计算出、的值,即可得出的值.详解】,则,因此,故选:B.【点睛】本题考查数列中相关项的计算,解题的关键就是递推公式的应用,考查计算能力,属于基础题.15.在非直角中,“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】由得出,利用切化弦的思想得出其等价条件,再利用充分必要性判断出两条件之间的关系.【详
10、解】若,则,易知, ,.因此,“”是“”的充要条件,故选:C.【点睛】本题考查充分必要性的判断,同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用,在讨论三角函数值符号时,要充分考虑角的取值范围,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.16.在中,若,则角的大小为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系,再由并代入、与的等量关系式求出的值,从而得出的大小.【详解】,由正弦定理边角互化思想得,同理得,则,解得,中至少有两个锐角,且,所以,因此,故选:D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算,考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值,解题
11、的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算,属于中等题.三、解答题:共76分.17.设向量,.(1)若,求实数的值;(2)求在方向上的投影.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)计算出的坐标,然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值;(2)求出和,从而可得出在方向上的投影为.【详解】(1),解得;(2),在方向上的投影.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查共线向量的坐标运算以及投影的计算,在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律,考查计算能力,属于中等题.18.已知方程有两根、,且,.(1)当,时,求的值;(2)当,时,用表示.【答案】(1);(2).【解
12、析】【分析】(1)由反三角函数的定义得出,再由韦达定理结合两角和的正切公式求出的值,并求出的取值范围,即可得出的值;(2)由韦达定理得出,再利用两角和的正切公式得出的表达式,利用二倍角公式将等式两边化为正切,即可用表示.【详解】(1)由反三角函数的定义得出,当,时,由韦达定理可得,易知,则由两角和的正切公式可得,;(2)由韦达定理得,所以,又由得,则,则、至少一个是正数,不妨设,则,又,易知,因此,.【点睛】本题考查反正切的定义,考查两角和的正切公式的应用,同时涉及了二次方程根与系数的关系以及二倍角公式化简,在利用同角三角函数的基本关系解题时,需要对角的范围进行讨论,考查运算求解能力,属于中等
13、题.19.某菜农有两段总长度为米的篱笆及,现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园(假设、这两面墙都足够长)已知(米),设,四边形的面积为.(1)将表示为的函数,并写出自变量的取值范围;(2)求出的最大值,并指出此时所对应的值.【答案】(1),其中;(2)当时,取得最大值.【解析】【分析】(1)在中,利用正弦定理将、用表示,然后利用三角形的面积公式可求出关于的表达式,结合实际问题求出的取值范围;(2)利用(1)中的关于的表达式得出的最大值,并求出对应的的值.【详解】(1)在中,由正弦定理得,所以,则的面积为,因此,其中;(2)由(1)知,.,当时,即当时,四边形的面积取得最大
14、值.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质,在利用三角函数进行求解时,要利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.已知函数的最小正周期为,且其图象的一个对称轴为,将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍,再将图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.(1)求的解析式,并写出其单调递增区间;(2)求函数在区间上的零点;(3)对于任意的实数,记函数在区间上的最大值为,最小值为,求函数在区间上的最大值.【答案】(1),单调递增区间为;(2)、;(3).【解析】【分析】(1)由函数的最小正周期求出的值
15、,由图象的对称轴方程得出的值,从而可求出函数的解析式;(2)先利用图象变换的规律得出函数的解析式,然后在区间上解方程可得出函数的零点;(3)对分三种情况、分类讨论,分析函数在区间上的单调性,得出和,可得出关于的表达式,再利用函数的单调性得出函数的最大值.【详解】(1)由题意可知,.令,即,即函数的图象的对称轴方程为.由于函数图象的一条对称轴方程为,则,因此,.函数的单调递增区间为;(2)将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍,得到函数.再将所得函数的图象向左平移个单位长度,得到函数令,即,化简得,得或.由于,当时,;当时,或.因此,函数在上的零点为、;(3)当时,函数在上单调递增,在上单调
16、递减,所以,由于,此时,;当时,函数在上单调递增,在上单调递减,所以,由于,此时,;当时,函数在区间上单调递减,所以,此时,.所以,.当时,函数单调递减,;当时,函数单调递增,此时;当时,当时,.综上所述:.【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值,考查三角函数在动区间上的最值,要充分考查函数的单调性,结合三角函数的单调性求解,考查分类讨论数学思想,属于中等题.21.在中,角、的对边分别为、,为的外接圆半径.(1)若,求;(2)在中,若为钝角,求证:;(3)给定三个正实数、,其中,问:、满足怎样的关系时,以、为边长,为外接圆半径的不存在,
17、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在存在的情兄下,用、表示.【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.【解析】【分析】(1)利用正弦定理求出的值,然后利用余弦定理求出的值;(2)由余弦定理得出可得证;(3)分类讨论判断三角形的形状与两边、的关系,以及与直径的大小的比较,分类讨论即可.【详解】(1)由正弦定理得,所以,由余弦定理得,化简得.,解得;(2)由于为钝角,则,由于,得证;(3)当或时,所求不存在;当且时,所求有且只有一个,此时;当时,都是锐角,存在且只有一个,;当时,所求存在两个,总是锐角,可以是钝角也可以是锐角,因此所求存在,当时,;当时,.【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断,考查了解三角形、三角形的外接圆等知识,综合性较强,尤其是第三问需要根据、两边以及直径的大小关系确定三角形的形状,再在这种情况下求第三边的表达式,本解法主观性较强,难度较大.