1、上海市曹杨二中2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题：(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)1.已知向量，且与垂直，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值【详解】；故答案为：【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题2.若角的终边经过点，则实数的值为_.【答案】.【解析】【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得，另一方面，由三角函数定义得，解得，故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，
2、并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量，则的单位向量的坐标为_.【答案】.【解析】【分析】由结论“与方向相同的单位向量为”可求出的坐标.【详解】，所以，故答案为：.【点睛】本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.在等差数列中，则的值为_.【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件建立、的方程组，求出、的值，即可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，所以，解得，因此，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式
3、进行计算，考查方程思想，属于基础题.5.若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_.（用反三角函数值表示）【答案】.【解析】【分析】设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.【详解】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算律与定义得，因此，向量、的夹角为，故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.6.已知向量，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.【详解】，所以，当且仅当，即当，等
4、号成立，因此，的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.若，且，则是第_象限角.【答案】三【解析】【分析】利用二倍角公式计算出的值，结合判断出角所在的象限.【详解】由二倍角公式得，又，因此，是第三象限角，故答案为：三.【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.8.已知是边长为的等边三角形，为边上（含端点）的动点
5、，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，其中，利用数量积的坐标运算将转化为有关的一次函数的值域问题，可得出的取值范围.【详解】如下图所示：取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则点、，设点，其中，因此，的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.9.设当时，函数取得最大值，则_.【答案】；【解析】f(x)sin x2cos
6、 xsin(x)，其中sin ，cos ，当x2k(kZ)时，函数f(x)取得最大值，即2k时，函数f(x)取到最大值，所以cos sin .10.走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_.【答案】.【解析】【分析】设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，由题意可知，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，故答案为：.【点睛】本题考查弧度制的
7、应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.11.如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由，得，可得出，再利用、三点共线的向量结论得出，可解出实数的值.【详解】由，得，可得出，由于、三点共线，解得，故答案为：.【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.12.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: ,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数，满足,，则_.【答案】【解析】【分析】设的角、的对边分别为、，在内取点，使得，设，利用余弦定理得出的三
8、边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值.【详解】设的角、的对边分别为、，在内取点，使得，设，由余弦定理得，同理可得，则，的面积为，另一方面，解得，故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、选择题（每题5分，满分20分）13.已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数列的前项和为，由并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项.【详解】设等差数列的前项和为，由，得，可得，故选：C.【点睛】本题考查等差数
9、列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.已知数列满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，得，然后根据递推公式逐项计算出、的值，即可得出的值.详解】，则，因此，故选：B.【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.在非直角中，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】由得出，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系.【详
10、解】若，则，易知， ，.因此，“”是“”的充要条件，故选：C.【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.在中，若，则角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.【详解】，由正弦定理边角互化思想得，同理得，则，解得，中至少有两个锐角，且，所以，因此，故选：D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题
11、的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.三、解答题：共76分.17.设向量，.（1）若，求实数的值；（2）求在方向上的投影.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算出的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值；（2）求出和，从而可得出在方向上的投影为.【详解】（1），解得；（2），在方向上的投影.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.18.已知方程有两根、，且，.（1）当，时，求的值；（2）当，时，用表示.【答案】（1）；（2）.【解
12、析】【分析】（1）由反三角函数的定义得出，再由韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，并求出的取值范围，即可得出的值；（2）由韦达定理得出，再利用两角和的正切公式得出的表达式，利用二倍角公式将等式两边化为正切，即可用表示.【详解】（1）由反三角函数的定义得出，当，时，由韦达定理可得，易知，则由两角和的正切公式可得，；（2）由韦达定理得，所以，又由得，则，则、至少一个是正数，不妨设，则，又，易知，因此，.【点睛】本题考查反正切的定义，考查两角和的正切公式的应用，同时涉及了二次方程根与系数的关系以及二倍角公式化简，在利用同角三角函数的基本关系解题时，需要对角的范围进行讨论，考查运算求解能力，属于中等
13、题.19.某菜农有两段总长度为米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）已知（米），设，四边形的面积为.（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.【答案】（1），其中；（2）当时，取得最大值.【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理将、用表示，然后利用三角形的面积公式可求出关于的表达式，结合实际问题求出的取值范围；（2）利用（1）中的关于的表达式得出的最大值，并求出对应的的值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，则的面积为，因此，其中；（2）由（1）知，.，当时，即当时，四边形的面积取得最大
14、值.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质，在利用三角函数进行求解时，要利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；（2）求函数在区间上的零点；（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.【答案】（1），单调递增区间为；（2）、；（3）.【解析】【分析】（1）由函数的最小正周期求出的值
15、，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点；（3）对分三种情况、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.【详解】（1）由题意可知，.令，即，即函数的图象的对称轴方程为.由于函数图象的一条对称轴方程为，则，因此，.函数的单调递增区间为；（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数令，即，化简得，得或.由于，当时，；当时，或.因此，函数在上的零点为、；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调
16、递减，所以，由于，此时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，由于，此时，；当时，函数在区间上单调递减，所以，此时，.所以，.当时，函数单调递减，；当时，函数单调递增，此时；当时，当时，.综上所述：.【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.21.在中，角、的对边分别为、，为的外接圆半径.（1）若，求；（2）在中，若为钝角，求证：；（3）给定三个正实数、，其中，问：、满足怎样的关系时，以、为边长，为外接圆半径的不存在，
17、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情兄下，用、表示.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出的值，然后利用余弦定理求出的值；（2）由余弦定理得出可得证；（3）分类讨论判断三角形的形状与两边、的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可.【详解】（1）由正弦定理得，所以，由余弦定理得，化简得.，解得；（2）由于为钝角，则，由于，得证；（3）当或时，所求不存在；当且时，所求有且只有一个，此时；当时，都是锐角，存在且只有一个，；当时，所求存在两个，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，因此所求存在，当时，；当时，.【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，考查了解三角形、三角形的外接圆等知识，综合性较强，尤其是第三问需要根据、两边以及直径的大小关系确定三角形的形状，再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强，难度较大.