1、第二章测评(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1.设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则 =()A.B.C.D.解析:由题设及柯西不等式得|ax+by+cz|=20,当且仅当 时取等号,此时令 =k,由题设条件,易得 k=,=k=,故选 C.答案:C2.已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 ab,则 9x+3y的最小值为()A.2 B.4C.12D.6解析:ab,4(x-1)+2y=0.2x+y=2,y=2-2x,9x+3y=9x+32-2x
2、=32x+32-2x2 -=6.当且仅当 32x=32-2x,即 x=,y=1 时等号成立.答案:D3.若 5x1+6x2-7x3+4x4=1,则 3 +2 +5 的最小值是()A.B.C.3D.答案:B4.已知 2x+3y+4z=10,则 x2+y2+z2取到最小值时的 x,y,z 的值为()A.B.C.1,D.1,解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(22+32+42)(2x+3y+4z)2=100,则 x2+y2+z2 .当且仅当 时,取到最小值,所以联立 可得 x=,y=,z=.答案:B5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被 9 整除”,要利用归纳假
3、设证 n=k+1 时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:假设 n=k 时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除,当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+1)3+(k+2)3+(k3+3k23+3k32+33)=k3+(k+1)3+(k+2)3+(9k2+27k+27),故只需展开(k+3)3即可.答案:A6.用数学归纳法证明不等式 1+-成立,起始值至少应取()A.7B.8C.9D.10解析:原不等式可化为-()-,即 2(-),即 2-,所以 2-,即 -,即 -,故 266,故 n7,
4、所以 n 最小取 8.答案:B7.设 01,n1,且 log3mlog3n4,则 m+n 的最小值为()A.15B.16C.17D.18解析:4log3mlog3n(),(log3mn)216,mn34.m+n2 232=18,当且仅当 m=n1 时等号成立.答案:D二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)11.数列an中,a1=1,且 Sn,Sn+1,2S1成等差数列,则 S2,S3,S4分别为 ,猜想 Sn=.答案:-12.探索表达式 A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+22!+11!(n1,且 nN+)的结果时,第一步 n=时,A=.解析:n1,且
5、nN+,n 取第一个值为 2.此时 A=11!=1.答案:2 113.函数 y=()()()的最小值是 .解析:由柯西不等式,得y=()()()=()(1+)2=3+2.当且仅当 sin=cos,即=时等号成立.答案:3+2 14.用数学归纳法证明 1+2+3+n2=,则 n=k+1 时,左端应在 n=k 时的基础上加上 .解析:令 f(n)=1+2+3+n2,则 f(k)=1+2+k2,f(k+1)=1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2,f(k+1)-f(k)=(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.答案:(k2+1)+(k2+2)+(k+1)215.三角形的三边 a
6、,b,c 对应的高为 ha,hb,hc,r 为三角形内切圆的半径.若 ha+hb+hc的值为 9r,则此三角形为 三角形.解析:记三角形的面积为 S,则 2S=aha=bhb=chc.又因为 2S=r(a+b+c),所以 ha+hb+hc=2S()=r(a+b+c)().由柯西不等式,得(a+b+c)()=()2+()2+()2()()()()=9,所以 ha+hb+hc9r,当且仅当 a=b=c 时取等号.故 ha+hb+hc=9r 时,三角形为等边三角形.答案:等边三、解答题(本大题共 4 小题,共 25 分)16.(6 分)已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 恒成立
7、,求 的取值范围.解:由基本不等式及柯西不等式,得 =()=.故参数 的取值范围是 ).17.(6 分)如图,圆 C 上有 n 个不同点 P1,P2,Pn,设两两连接这些点所得线段 PiPj中,任意三条在圆内都不共点,试证它们在圆内共有 个交点(n4).证明:设圆内交点个数为 P(n),(1)当 n=4 时,则 P(4)=1=,命题成立.(2)假设 n=k 时,P(k)=,不妨设第 k+1 个点在 上,且 P1,P2,Pk,Pk+1按逆时针方向排列,依次连接 Pk+1P1,Pk+1P2,可增加 k 条线段,分别考查这 k 条线段与此前圆内线段的交点个数:与 Pk+1P1:0 个;与 Pk+1P
8、2:k-2 个(分别与 P1P3,P1P4,P1Pk交得);与 Pk+1P3:2(k-3)个(分别与 P1P4,P1P5,P1Pk,P2P4,P2Pk交得);与 Pk+1P4:3(k-4)个(分别与 P1P5,P1Pk,P3Pk交得);与 Pk+1Pk-1:(k-2)1 个(分别与 P1Pk,P2Pk,Pk-2Pk交得),故总共增加:(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+(k-2)(k-1)-(k-2)=k+2k+(k-2)k-12+23+34+(k-2)(k-1)个交点,得 P(k+1)=-2(+-)=+3 -2 ,可见命题当 n=k+1 时成立,从而对一切 n4 的自然数 n 成立.18
9、.(6 分)P 是 ABC 内一点,x,y,z 是 P 到 ABC 的三边 a,b,c 的距离,R 是 ABC 外接圆的半径,证明 .证明:由柯西不等式,得 .设 S 为 ABC 的面积,则 ax+by+cz=2S=,=,原不等式成立.19.(7 分)设 a,b 为正数,nN+,求证:().证明:(1)当 n=1 时,显然成立.(2)假设当 n=k(kN+,且 k1)时,不等式成立,即 (),则当 n=k+1 时,证明不等式成立,即证明 ().在 ()的两边同时乘以 ,得 ().要证明 (),只需证明 .因为 2(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0.又 a-b 与(ak-bk)同正负(或同时为 0),所以最后一个不等式显然成立,这就证明了当 n=k+1 时,不等式成立.综合(1)(2)可知,对任何 nN+,不等式 ().
