1、1.两条异面直线所成角的求法设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则l1 与 l2 所成的角 a 与 b 的夹角 范围(0，20，求法cos|ab|a|b|cos ab|a|b|2.直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为，a 与 n 的夹角为，则 sin|cos|an|a|n|.3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB，CD.(2)如图，n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面，的法向量，则二面角的大小 满足|cos|cosn1，n2|，二面
2、角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角).【知识拓展】利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则 AB|AB|x1x22y1y22z1z22.(2)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离为|BO|ABn|n|.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)
3、两异面直线夹角的范围是(0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是0，.()(5)直线 l 的方向向量与平面 的法向量夹角为 120，则 l 和 所成角为 30.()(6)若二面角 a 的两个半平面，的法向量 n1，n2 所成角为，则二面角 a 的大小是.()1.(2016南通模拟)已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_.答案 45或 135解析 cosm，n mn|m|n|11 2 22，即m，n45.两平面所成的二面角为 45或 18045135.2.已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若 cosm，n1
4、2，则 l与 所成的角为_.答案 30解析 设 l 与 所成角为，cosm，n12，sin|cosm，n|12，090，30.3.(2016泰州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的余弦值为_.答案 55解析 设 CA2，则 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量AB1(2,2,1)，BC1(0,2，1)，由向量的夹角公式得 cosAB1，BC1 041441 041 15 55.4.(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1
5、的底面边长为 2，侧棱长为2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为_.答案 6解析 以 A 为原点，以AB，AE(AEAB)，AA1 所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设 D 为 A1B1 中点，则 A(0,0,0)，C1(1，3，2 2)，D(1,0,2 2)，AC1(1，3，2 2)，AD(1,0,2 2).C1AD 为 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角，cosC1AD AC1 AD|AC1|AD|1，3，2 21，0，2 212 9 32，又C1AD0，2，C1AD6.5.P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在平面、上引射线 PM、PN，如果BPMBPN45，
6、MPN60，那么二面角 AB 的大小为_.答案 90解析 不妨设 PMa，PNb，如图，作 MEAB 于 E，NFAB 于 F，EPMFPN45，PE 22 a，PF 22 b，EM FN(PM PE)(PNPF)PM PNPM PFPEPNPEPFabcos 60a 22 bcos 45 22 abcos 45 22 a 22 bab2 ab2 ab2 ab2 0，EM FN，二面角 AB 的大小为 90.题型一 求异面直线所成的角例 1(2015课标全国)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF
7、，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，连结 BD，设 BDACG，连结 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1.由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC2，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 22.在 RtFDG 中，可得 FG 62.在直角梯形 BDFE 中，由 BD2，BE 2，DF 22，可得 EF3 22，从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.又 ACFGG，可得 EG平面 AFC.因为
8、 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.(2)解 如图，以 G 为坐标原点，分别以GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz，由(1)可得 A(0，3，0)，E(1,0，2)，F1，0，22，C(0，3，0)，所以AE(1，3，2)，CF1，3，22.故 cosAE，CF AECF|AE|CF|33.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33.思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向
9、量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是_.答案 90解析 连结 D1M，在正方形 DCC1D1 中，M、N 分别是 CD、CC1 的中点，DND1M，又A1D1平面 D1C，DN平面 D1C，DNA1D1，又A1D1D1MD1，DN平面 A1D1M，又 A1M平面 A1D1M，A1MDN.即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为 90.题型二 求直线与平面所成的角例 2(2016全国丙卷)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底
10、面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点.(1)证明 MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.(1)证明 由已知得 AM23AD2.取 BP 的中点 T，连结 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN12BC2.又 ADBC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)解 取 BC 的中点 E，连结 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD，AE AB2BE2AB2BC22 5.以
11、 A 为坐标原点，AE的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N52，1，2，PM(0,2，4)，PN52，1，2，AN52，1，2.设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则nPM 0，nPN0，即2y4z0，52 xy2z0，可取 n(0,2,1).于是|cosn，AN|nAN|n|AN|8 525.设 AN 与平面 PMN 所成的角为，则 sin 8 525，直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为8 525.思维升华 利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向
12、量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点设点 P 在线段CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为，则 sin 的取值范围是_答案 63，1解析 由正方体的性质易求得 sinC1OA12 23，sinCOA1 63，注意到C1OA1 是锐角，COA1 是钝角，且2 23 63.故 sin 的取值范围是 63，1题型三 求二面角例 3(2016天津)如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF
13、为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面 ADF；(2)求二面角 OEFC 的正弦值；(3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH23HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值(1)证明 依题意，OF平面 ABCD，如图，以 O 为原点，分别以AD，BA，OF 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0)依题意，AD(2,0,0)，AF(1，1,2)设 n1(x1，
14、y1，z1)为平面 ADF 的法向量，则n1AD 0，n1AF0，即2x10，x1y12z10，不妨取 z11，可得 n1(0,2,1)，又EG(0,1，2)，可得EG n10，又因为直线 EG平面 ADF，所以 EG平面 ADF.(2)解 易证OA(1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量，依题意，EF(1,1,0)，CF(1,1,2)设 n2(x2，y2，z2)为平面 CEF 的法向量，则n2EF0，n2CF0，即x2y20，x2y22z20，不妨取 x21，可得 n2(1，1,1)因此有 cosOA，n2 OA n2|OA|n2|63，于是 sinOA，n2 33.所以二面角 OEFC
15、的正弦值为 33.(3)解 由 AH23HF，得 AH25AF.因为AF(1，1,2)，所以AH 25AF25，25，45，进而有 H35，35，45，从而BH 25，85，45.因此 cosBH，n2 BH n2|BH|n2|721.所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 721.思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的
16、大小就是二面角的大小.如图(1)，正方形 ABCD 的边长为 1，M，N 分别是边 AD，BC 上的点，MN 与AB 平行，且与 AC 交于点 O.若将四边形 ABCD 沿 MN 折成直二面角 AMNC(如图(2)，则二面角 CAOB 的平面角的正弦值是_图(1)图(2)答案 63解析 由条件得 NM，NB，NC 两两垂直，分别以 NM，NB，NC 所在直线为 x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，设 NCm，则 NOm，从而得 O(m,0,0)，C(0,0，m)，A(1,1m,0)设平面 AOC 的法向量为 a(x，y，z)，由aOA 0，aOC 0，OA(1m,1m,0)，OC(m,0
17、，m)，得yx，zx，取 x1，得 a(1，1,1)又平面 AOB 的一个法向量为 b(0,0,1)，则 cosa，b ab|a|b|33，故 sina，b 63.题型四 求空间距离(供选用)例 4 如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面BCD，AB2 3，求点 A 到平面 MBC 的距离.解 如图，取CD 的中点O，连结OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面 MCD平面 BCD，所以 MO平面 BCD.以 O 为坐标原点，直线 OC，BO，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.因
18、为BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，所以 OBOM 3，则 O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，3，0)，A(0，3，2 3)，所以BC(1，3，0)，BM(0，3，3).设平面 MBC 的法向量为 n(x，y，z)，由nBC，nBM得nBC0，nBM 0，即x 3y0，3y 3z0，取 x 3，可得平面 MBC 的一个法向量为 n(3，1,1).又BA(0,0,2 3)，所以所求距离为 d|BAn|n|2 155.思维升华 求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；(2)等体积法；(3)向量法.其中向量法在易建立空
19、间直角坐标系的规则图形中较简便.(2016四川成都外国语学校月考)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD 2，PAPD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，ABBC1，O 为 AD 中点.(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值；(2)求 B 点到平面 PCD 的距离；(3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 QACD 的余弦值为 63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由.解(1)在PAD 中，PAPD，O 为 AD 中点，POAD.又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 P
20、AD，PO平面 ABCD.在PAD 中，PAPD，PAPD 2，AD2.在直角梯形 ABCD 中，O 为 AD 的中点，ABAD，OCAD.以 O 为坐标原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，PB(1，1，1).易证 OA平面 POC，OA(0，1,0)为平面 POC 的法向量，cosPB，OA PBOA|PB|OA|33，PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 63.(2)PB(1，1，1)，设平面 PCD 的法向量为 u(x，y，z)，则uCPxz
21、0，uPD yz0.取 z1，得 u(1,1,1).则 B 点到平面 PCD 的距离 d|PBu|u|33.(3)假设存在，且设PQ PD(01).PD(0,1，1)，OQ OP PQ(0，)，OQ(0，1)，Q(0，1).设平面 CAQ 的法向量为 m(x，y，z)，则mACxy0，mAQ 1y1z0.取 z1，得 m(1，1，1).平面 CAD 的一个法向量为 n(0,0,1)，二面角 QACD 的余弦值为 63，|cosm，n|mn|m|n|63.整理化简，得 321030.解得 13或 3(舍去)，存在，且PQQD12.6.利用空间向量求解空间角典例(16 分)如图，在四棱锥 PABC
22、D 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点.(1)证明：BEDC；(2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；(3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值.规范解答(1)证明 依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得 B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).2 分由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1).BE(0,1,1)，DC(2,0,0)，故BEDC 0，所以 BEDC.4 分(2)解 BD(1,2,0)，PB(1,0，2).设 n(x，y，
23、z)为平面 PBD 的一个法向量，则nBD 0，nPB0，即x2y0，x2z0.不妨令 y1，可得 n(2,1,1).6 分于是有 cosn，BE nBE|n|BE|26 2 33，所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 33.8 分(3)解 BC(1,2,0)，CP(2，2,2)，AC(2,2,0)，AB(1,0,0).由点 F 在棱 PC 上，设CFCP，01，故BFBCCFBCCP(12，22，2).由 BFAC，得BFAC0，因此，2(12)2(22)0，解得 34，即BF(12，12，32).12 分设 n1(x，y，z)为平面 FAB 的一个法向量，则n1AB0，n1BF
24、0，即x0，12x12y32z0.不妨令 z1，可得 n1(0，3,1).取平面 ABP 的法向量 n2(0,1,0)，则 cosn1，n2 n1n2|n1|n2|31013 1010.易知，二面角 FABP 是锐角，所以其余弦值为3 1010.16 分利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.1.(2017苏北四市联考)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAA12，AD1，E 为 C
25、C1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为_.答案 3010解析 建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2).所以BC1(1,0,2)，AE(1,2,1).故 cosBC1，AE BC1 AE|BC1|AE|3010.所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 3010.2.(2016徐州模拟)二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，则该二面角的大小为_.答案 60解析 如图所示，二面角的大小就是AC，BD.CD
26、 CAABBD，CD 2CA 2AB 2BD 22(CAABCABD ABBD)CA 2AB 2BD 22CABD.CABD 12(2 17)262428224.因此ACBD 24，cosAC，BD ACBD|AC|BD|12，AC，BD 60，故二面角为 60.3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为_.答案 23解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1，则 A1(0,0,1)，E(1,0，12)，D(0,1,0)，A1D(0,1，1)，A1E(1,0，12).设平面
27、A1ED 的一个法向量为 n1(1，y，z)，则有A1D n10，A1E n10，即yz0，112z0，y2，z2.n1(1,2,2).平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)，cosn1，n2 23123，即所成的锐二面角的余弦值为23.4.(2016盐城模拟)在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，D，E，F 分别是棱AB，BC，CP 的中点，ABAC1，PA2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为_.答案 55解析 以 A 为原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由 ABAC1，PA2，得 A(0,0
28、,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12，0,0)，E(12，12，0)，F(0，12，1).PA(0,0，2)，DE(0，12，0)，DF(12，12，1).设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)，则由nDE 0，nDF 0，得y0，xy2z0.取 z1，则 n(2,0,1)，设直线 PA 与平面 DEF 所成的角为，则 sin|PAn|PA|n|55，直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 55.5.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，CC12 2，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 到平面 BDE 的距离为_.答案 1解析 以
29、 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2 2)，E(0,2，2)，易知 AC1平面 BDE.设 n(x，y，z)是平面 BDE 的法向量，则nDB 2x2y0，nDE 2y 2z0.取 y1，则 n(1,1，2)为平面 BDE 的一个法向量，又DA(2,0,0)，点 A 到平面 BDE 的距离是d|nDA|n|1200|1212 221.故直线 AC1 到平面 BDE 的距离为 1.6.如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 3，底面
30、边长 A1C1B1C11，且A1C1B190，D 点在棱 AA1 上且 AD2DA1，P 点在棱 C1C 上，则PD PB1 的最小值为_.答案 14解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(1,0,2)，B1(0,1,3)，设 P(0,0，z)，则PD(1,0,2z)，PB1(0,1,3z)，PD PB1 00(2z)(3z)(z52)214，故当 z52时，PD PB1 取得最小值为14.7.(2016无锡模拟)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，BCAA11，则直线 D1C1 与平面A1BC1 所成角的正弦值为_.答案 13解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D1
31、(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0).D1C1(0,2,0)，A1C1(1,2,0)，A1B(0,2，1)，设平面 A1BC1 的一个法向量为 n(x，y，z)，由nA1C1 x，y，z1，2，0 x2y0，nA1B x，y，z0，2，12yz0，得x2y，z2y，令 y1，得 n(2,1,2)，设直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角为，则sin|cosD1C1，n|D1C1 n|D1C1|n|22313，即直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为13.8.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，则直线 CD 与平面 BDC
32、1 所成角的正弦值等于_.答案 23解析 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 AA12AB2，则 D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC(0,1,0)，DB(1,1,0)，DC1(0,1,2).设平面 BDC1 的法向量为 n(x，y，z)，则 nDB，nDC1，所以有xy0，y2z0，令 y2，得平面 BDC1 的一个法向量为 n(2，2,1).设 CD 与平面 BDC1 所成的角为，则 sin|cosn，DC|nDC|n|DC|23.9.(2016连云港模拟)已知点 E，F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1，CC1
33、 上，且 B1E2EB，CF2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值为_.答案 23解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，设 DA1，由已知条件得A(1,0,0)，E(1,1，13)，F(0,1，23)，AE(0,1，13)，AF(1,1，23)，设平面 AEF 的法向量为 n(x，y，z)，平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角为，由图知 为锐角，由nAE0，nAF0，得y13z0，xy23z0.令 y1，z3，x1，则 n(1,1，3)，取平面 ABC 的法向量为 m(0,0，1)，则 cos|cosn，m|3 1111，tan 23.10.(2016南京、无
34、锡联考)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.(1)证明 如图，取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B.CACB，OCAB.ABAA1，BAA160.AA1B 为等边三角形，OA1AB.OCOA1O，AB平面 OA1C.又 A1C平面 OA1C，ABA1C.(2)解 由(1)知，OCAB，OA1AB.平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，OC平面 AA1B1B，OA，OA1，OC 两两垂直.以 O 为坐标原点，O
35、A 的方向为 x 轴的正方向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由题设知 A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(1,0,0).则BC(1,0，3)，BB1 AA1(1，3，0)，A1C(0，3，3).设 n(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，则nBC0，nBB1 0，即x 3z0，x 3y0，可取 n(3，1，1).cosn，A1C nA1C|n|A1C|105.直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105.11.(2016扬州模拟)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1AB2AD2，E 为 AB 的中点，
36、F 为 D1E 上的一点，D1F2FE.(1)证明：平面 DFC平面 D1EC；(2)求二面角 ADFC 的大小.(1)证明 以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).E 为 AB 的中点，点 E 的坐标为(1,1,0)，D1F2FE，D1F 23D1E 23(1,1，2)(23，23，43)，DF DD1 D1F(0,0,2)(23，23，43)(23，23，23).设 n(x1，y1，z1)是平面 DFC 的法向量，则nDF 0，nDC
37、 0，23x123y123z10，2y0，令 x1，则平面 DFC 的一个法向量为 n(1,0，1)，设 p(x2，y2，z2)是平面 D1EC 的法向量，则pD1F 0，pD1C 0，23x223y243z20，2y2z0，令 y1，则平面 D1EC 的一个法向量为 p(1,1,1)，np(1,0，1)(1,1,1)0，平面 DFC平面 D1EC.(2)设 q(x3，y3，z3)是平面 ADF 的法向量，则qDF 0，qDA 0，23x323y323z30，x0，令 y1，则平面 ADF 的一个法向量为 q(0,1，1)，设二面角 ADFC 的平面角为，由题中条件可知(2，)，则 cos|n
38、q|n|q|0012 212，二面角 ADFC 的大小为23.12.(2016四川)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCD12AD.E为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90.(1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；(2)若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.解(1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行.延长 AB，DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED 且 BCED.所以四边形 BCDE 是平行四边
39、形，从而 CMEB.又 EB平面 PBE，CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N，使得 APPN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.从而PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角.所以PDA45.由PAB90，且 PA 与 CD 所成的角为 90，可得 PA平面 ABCD.设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2.作 AyAD，以 A 为原点，以AD，AP的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)
40、，C(2,1,0)，E(1,0,0).所以PE(1,0，2)，EC(1,1,0)，AP(0,0,2).设平面 PCE 的法向量为 n(x，y，z).由nPE0，nEC0，得x2z0，xy0.设 x2，解得 n(2，2,1).设直线 PA 与平面 PCE 所成角为，则 sin|cosn，AP|nAP|n|AP|22 22221213.所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为13.*13.(2016盐城模拟)如图，边长为 2的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直.已知ABCD，ABBC，DCBC12AB1，点 M 在线段 EC 上.(1)证明：平面 BDM平面 ADEF；
41、(2)判断点 M 的位置，使得平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角为3.(1)证明 DCBC1，DCBC，BD 2，又 AD 2，AB2，AD2BD2AB2，ADB90，ADBD.又平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD，BD平面 ADEF，又 BD平面 BDM，平面 BDM平面 ADEF.(2)解 在平面 DAB 内过点 D 作 DNAB，垂足为 N，ABCD，DNCD，又平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD，DEAD，ED平面 ABCD，DNED，以 D 为坐标原点，DN 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，DE 所在
42、的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.B(1,1,0)，C(0,1,0)，E(0,0，2)，N(1,0,0)，设 M(x0，y0，z0)，EM EC(01)，(x0，y0，z0 2)(0,1，2)，x00，y0，z0 2(1)，M(0，2(1).设平面 BDM 的法向量为 n1(x，y，z)，则n1DM 0，n1DB 0，又DM(0，2(1)，DB(1,1,0)，y 21z0，xy0，令 x1，得 y1，z21，故 n1(1，1，21)是平面 BDM 的一个法向量.平面 ABF 的一个法向量为DN(1,0,0)，|cosn1，DN|111221212，得 23，M(0，23，23)，点 M 在线段 CE 的三等分点且靠近点 C 处.
