1、长沙市周南中学2023届高三第二次月考数学试题时量：120分钟分量：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A.B.C.D.2.函数的图象大致为（ ）A.B.C.D.3.已知等比数列的前n项和为，且，成等差数列，则（ ）A.B.C.3D.44.已知正方形ABCD的对角线，点P在另一对角线BD上，则的值为（ ）A.B.2C.1D.45.直线与椭圆相交于A，B两点，设O为坐标原点，“”是“的面积为”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过
2、研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数n满足，则（ ）A.B.C.D.7.设函数，若，则（ ）A.B.C.D.8.在正方体中，点E是线段AB上靠近点A的三等分点，在三角形内有一动点P（包括边界），则的最小值是（ ）A.2B.C.3D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.在中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）A.B.若，则C.D.若，且，则为等边三角形10.已知定义域为R的函数满足，函数，若函数为奇函数，则的值
3、可以为（ ）A.B.C.D.11.已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.D.12.若函数存在两个极值点，则（ ）A.函数至少有一个零点B.或C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是关于x的方程的根，则实数_.14.双曲线的渐近线方程为，则_.15.已知平面向量，均为单位向量，且，则的最大值为_.16.公比为q的等比数列满足：，记，则当q最小时，使成立的最小n值是_.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足，且.（1）当成等差数列时，求k的值；（2）当且
4、，时，求及的通项公式.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，E为PD中点.（1）若，求证：平面PCD；（2）当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励.游客各次投球是否投进相互独立.（1）向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，
5、求的极大值点；（2）游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由.20.（本小题满分12分）如图，在中，D为AC的中点，且（1）证明：；（2）若，求.21.（本小题满分12分）已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M.若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最大值；（2）证明：长沙市周南中学2023届高三第二次月考数学试题时量：120分钟分量：150分命题人：王立象审题人：
6、陈秀丽一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【详解】由题意可知，又因为，所以选B2.【详解】函数的定义域为，所以，函数为奇函数，排除B选项；当时，则，排除D选项；，则，所以，函数在上不是减函数，排除A选项故选：C.3.答案B4.答案B5.答案A6.答案A7.【解析】函数为偶函数且为其一条对称轴，故，显然，故.因为，所以，所以.故选：D.8.解：以D为坐标原点，为x，y，z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设A关于平面的对称点为，则，平面的法向量是又A与到平面的距离，又，设而（当且仅当，P，E三点共线时取等号），即的最小
7、值为3.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当，时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且AG平分，的夹角为，易知为等边三角形，正确.故选：ACD10.【解析】因为，所以关于点对称，要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，所以只需使为偶函数即可，所以，故符合题意的有B、D；故选：BD.11.答案AC12.【详解】对于A，是的一个零点，故A正确；对于B，存在两个极值点，有两个不相等的实数
8、根，即有两个变号零点，即，或又，解得综上，故B错误；对于C，由B选项可得，故C正确；对于D，将，代入上式令有在上单调递增，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案14.答案15.【详解】，即的最大值为.16.解：构造函数，此时；答案15.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为成等差数列，所以，所以，又，所以.（2）因为，所以，所以，所以，因为，又由，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，所以.18.【详解】（1）证明：平面ABCD，平面ABCD四边形ABCD为矩形，又，AD，平面PAD平
9、面PAD，平面PAD，在中，E为PD中点，又，PD，平面PCD，平面PCD.（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，设平面ACE的一个法向量为，则，令，解得.设直线PC与平面ACE所成角为，则，当且仅当时，等号成立.三棱锥的体积.19.解：（1）3次向A桶投球投进2次的概率.令，得.当时，；当时，.在上单调递增，在单调递减，所以的极大值点.（2）由（1）得游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，.设投进A箱的纯收入为X元，；设投进B精的纯收入为Y元。；设投进C箱的纯收入为Z元，；因为所以游客甲选择向B桶投球更有利.20.解：（1）因为D为AC的中点，故又，于是.（2）设则，.在中，.21.解析：（1）将代入，得；，所以抛物线C的方程为.（2）设直线，.联立，整理得，所以，.假设存在以弦AB为直径的圆恒过点则恒成立化简得令，故以弦AB为直径的圆恒过点.22.解：（1），当时，当时，在上单调递增，在上单调递减所以，即当时，取最大值1.（2）由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，即当时，所以.
