1、2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，求（）ABCD或2化简（）AB1CD3在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（）ABCD4日常生活
2、中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度其表达式为，其中的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中为就餐人数（本窗口），为餐品新鲜度，则当，时，近似等于（）（已知）A470B471C423D4325素数对称为孪生素数，将素数17拆分成个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（）ABCD6设，则（）ABCD7已知空间四边形，且，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（）ABCD8已知函数，对于，恒成立，则满足题意的的取值集合为（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，
3、有多个选项符合要求全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分9下列选项中，不正确的是（）A对于任何两个集合，恒成立B“对于，”的否定是“，”C对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱D一元线性回归模型中，其中的，叫做，的最小二乘估计10已知正方体边长为2，则（）A直线与直线AC所成角为B与12条棱夹角相同的最大截面面积为C面切球与棱切球半径之比为D若Q为空间内一点，且满足与AB所成角为，则Q在平面内的轨迹为椭圆11已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P与焦点，所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（）A椭圆方程为B直线：与椭圆C无公共点C若过点O作，A，B为与
4、椭圆C的交点，则弦AB中点H所在轨迹为圆，且D若过点Q（3，2）作椭圆两条切线，切点分别为A，B，P为直线PQ与椭圆C的交点，则12已知函数，是的导数，下列说法正确的是（）A曲线在处的切线方程为B在上单调递增，在上单调递减C对于任意的总满足D直线与在上有一个交点且横坐标取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若函数，关于对称，则_14的展开式中的系数为_15若直线同时与曲线和曲线均相切，则直线的方程为_16已知，为有穷整数数列，对于给定的正整数m，若对于任意的，在中存在，使得，则称为“同心圆数列”若为“同心圆数列”，则k的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分17在中
5、，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c. (1)从下列中选择一个证明：证明：；证明：.(2)若，求面积的最小值18若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为，若数列为“摇摆数列”且，则：(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和（注：）19已知底面为正方形的四棱柱，E，F，H分别为，的中点，的面积为4，P为直线FH上一动点且(1)求证：当时，；(2)求多面体的体积；(3)是否存在实数，使得线段BP与平面夹角余弦值为20人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名为“领航者号”和“非凡者号”其
6、中“领航者号”空间站上配有2搜“M2运输船”和1搜“T1转移塔”，“非凡者号”空间站上配有3搜“T1转移塔”现在进行两艘飞行器间的“交会对接”假设“交会对接”在M年中重复了n次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站中的一个检查“领航者号”剩余飞行器情况，记“领航者号”剩余2搜“M2运输船”的概率为，剩余1搜“M2运输船”的概率为其中宇航员的性别与选择所登录空间站的情况如下表所示男性宇航员女性宇航员“领航者号”空间站380220“非凡者号”空间站120280P（）0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828(1)是否有99.9%的把握
7、认为选择登录空间站的情况与性别相关联；(2)若k为函数极大值的倍，求与的递推关系式；(3)求的分布列与数学期望21仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将由仿射变换得：，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线，且，切点分别为(1)求证：点的轨迹方程为；(2)若原点到，的距离分别为，延长表示距离，的两条直线，与椭圆交于两点，过作交于，试求：点所形成
8、的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数22已知函数，在处取到极值(1)求，并指出的单调递增区间；(2)若与有两个交点，且，证明：1C【分析】解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，因此，因为当时，有，因此，所以.故选：C2A【分析】利用复数代数形式的四则运算法则即可得解.【详解】故选：A.3A【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求，进而可求【详解】解：如图，连接则，则.故选：A.4A【分析】根据题目将数据代入公式，结合指数函数单调性求解即可.【详解】当，时，因为，且单调递减，所以，
9、所以当时，故选：A5B【分析】由已知结合古典概率公式即可求解【详解】素数，可拆成4个互不相等的素数，在4个互不相等的素数中，任取两个的所有情况为共6种，其中为孪生素数的情况有2种，分别是,，所以孪生素数的概率为故选：B6A【分析】构造函数，利用导数确定函数的单调性可得，即可判断大小关系；估计实数与的大小关系及大致倍数关系，构造函数，利用导数确定单调性可得，从而结合正弦函数的单调性可比较大小，即可得结论【详解】解：设，则，设，则恒成立，所以在上单调递增，所以恒成立，则在上单调递增，故，即，所以；因为，则，设，则，又设，故恒成立，所以在上单调递增，所以恒成立，则在上单调递减，则，又，则，即；综上，
10、.故选：A7C【分析】根据空间四边形的线面关系可得平面，则空间四边形可以内接于圆柱中，根据圆柱的外接球半径求得空间四边形的外接球半径，又根据内切球的几何性质用等体积法可求得空间四边形的内切球半径，即可得空间四边形外接球与内切球的表面积之比.【详解】解：面与面夹角正弦值为1，面面，又面面面，平面，则空间四边形可以内接于圆柱中，如下图所示：点在上底面圆周上，三个顶点在下底面圆周上，则圆柱的外接球即空间四边形的外接球，取的中点为，连接，则球心为，半径为，且，为正的外接圆半径，由正弦定理得，即，所以；如下图，设空间四边形的内切球球心为，连接，设内切球半径为，则，又中，所以，所以，所以外接球与内切球的表
11、面积之比为.故选：C.8D【分析】将在时恒成立转化为对于恒成立，设，且，即满足成立即可求满足题意的的取值【详解】解：函数，对于，恒成立，即，对于恒成立，可变化为：对于恒成立，设，则函数在上单调递增，函数的值域为，则不等式转化为在上恒成立，设，则，当时，则恒成立，所以在上单调递增，又，则，使得，不满足恒成立；当时，令，得，所以时，单调递减，时，单调递增，所以，则设，则，得，所以时，单调递增，时，单调递减，所以，又，所以，即.所以综上所述，的取值集合为故选：D【点睛】关键点睛：函数的恒成立问题，将函数进行适当的变形，构造函数是解题关键对于指对混合型的不等式，可考虑分离函数或同构转换，本题中的与正好
12、可以利用指对互化转换为同构形式，其母函数为本题中选择了，其中，结合导数可确定，将不等式转换为证明，从而确定的取值情况.9CD【分析】根据集合间的关系以及含有量词的命题的否定，相关系数的概念和最小二乘估计的概念依次判断即可【详解】解：对于任何两个集合，都有，所以恒成立，故A正确；“对于，”的否定是“，”，故B正确；对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故C错误；一元线性回归模型中，其中的，叫做b，a的平均值，叫做b，a的最小二乘估计，故D错误.故选：CD.10AB【分析】根据给定的正方体，证明判断A；确定符合条件的最大截面并求出面积判断B；求出
13、两球半径比判断C；求出点Q的轨迹方程判断D作答.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，则，而， ，平面，因此平面，又平面，所以，A正确；与正方体的12条棱夹角相同的最大截面为其中6条棱中点依次连接所形成的的正六边形，如图，点分别为正方体棱中点，多边形为正六边形，其边长为，其面积为，B正确；因为正方体的面切球直径为其棱长，棱切球直径为其面对角线长，因此面切球与棱切球半径之比为，C错误；点Q在平面内，过Q作交于H，连接，如图，而平面，平面，则，即有，显然是与AB所成的角，则有，于是得，在平面中，以，所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设，则，于是得，整理得，所以Q在平面内的轨迹为双曲线，D错
14、误.故选：AB11AC【分析】先利用离心率，焦点三角形面积最大值算出a，b，得出椭圆方程，再逐一分析.【详解】由题意，故A正确；联立，得，故有两个交点，故B错误；因为，且而设，则，又，故C正确；设过椭圆外的点Q（3，2）的切线方程为联立得；与椭圆相切，整理得：，故两切线为定直线，则A，B为定点，故为定值，P为直线PQ与椭圆C的交点，则P为动点则为定值不成立，故D错误故选：AC12ACD【分析】求出函数的导数，利用导数几何意义求出切线方程判断A；确定给定区间上单调性判断B；构造函数推理论证不等式判断C；利用零点存在性定理判断D作答.【详解】，则，而，因此，曲线在点处的切线方程为，A正确；，则，设
15、，当时，则函数在上单调递增，因此对任意的恒成立，所以在上单调递增，B错误；，设，则由选项B知，在上单调递增，而，则，即有，因此函数在上单调递增，即有，所以对任意的，总满足，C正确；令，令，由选项B知，当时，即有函数在上单调递增，而，存在，使得，当时，则，当时，则，于是得函数在上单调递减，在上单调递增，而，则有，又，因此存在，使得，当时，当时，于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则，又，从而存在唯一，使得，显然当时，又，令，因此函数在上单调递减，有，则，即，从而函数在上有唯一零点，所以直线与在上有一个交点且横坐标取值范围为，D正确.故选：ACD【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导
16、函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.13或 【分析】由题意可得在处取最值，从而得，再根据确定的值，即可得的值.【详解】解：因为函数，关于对称，所以，当时，；当时，.故答案为：或1490【分析】根据题意，将式子展开成，的系数分两种情况讨论即可【详解】解：，在第一个括号里取2时，第二个括号里取，此时系数是，在第一个括号里取时，第二个括号里取，此时系数是，则的系数.故答案为：9015【分析】设曲线上切点为，利用导函数求斜率进而可得到切线关于的方程，再利用圆心到切线的距离等于半径求即可.【详解】令，则，设在曲线上的切点坐标为，则该点切线斜率，所以切线方程为，整理得，又因为圆上的圆心到切线方程
17、的距离为，所以，解得，所以切线方程为，故答案为：1664【分析】求出当时，最多能表示个数字，由即可求解的最小值.【详解】对于此题，我们先从简单的算起当时，则最多能表示共1个数字；当时，则，最多能表示，共3个数字；当时，则，最多能表示，共6个数字；当时，则，最多能表示个数字；，故答案为：64.17(1)证明见解析(2)【分析】（1）若选择证明：证法一：三角形外接圆法，设的外接圆的圆心为，半径为，结合三角形边角关系，对为锐角，钝角及直角各种情况进行证明；证法二：向量法，以作为原点，以射线的方向为轴的正方向建立直角坐标系，在轴上的投影为，结合向量的投影即可证明；若选择证明：证法一：建系法，以点为原点
18、，的边所在直线为轴，建立直角坐标系，结合两点间的距离公式可证；证法二：解析法，对为锐角，钝角及直角各种情况进行讨论，结合三角形边角关系即可证明（2）由已知结合三角形的面积公式即可得解【详解】（1）若选择证明：.证法一：三角形外接圆法设的外接圆的圆心为，半径为，如图由图（1）知，当为锐角时，为直径，；由图（2）知，当为钝角时，为直径，；如图（3），当时，为直径，.对于任意三角形都有同理，.证法二：向量法当为钝角时，以作为原点，以射线的方向为轴的正方向建立直角坐标系，在轴上的投影为，如图所示，向量与在轴上的投影均为，即，即.以同样的方式可以证明为锐角或直角时上式同样成立，.若选择证明：.证法一：建
19、系法以点为原点，的边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，由两点间的距离公式得，即，则证法二：解析法当为锐角时，过作于则，在中，即，所以，则当为钝角时，过作垂直于的延长线于，则，在中，即，所以，则当为直角时，满足，综上，（2），面积的最小值为18(1)(2)【分析】（1）根据题意列出关于的方程，结合等差等比数列通项公式的概念即可得结果.（2）求出数列的通项公式，分奇数项和偶数项分别进行求和计算即可【详解】（1）设由题意得（2）先求奇数项的和：，引入再求偶数项的和：，19(1)证明见解析(2)(3)不存在【分析】（1）由的面积为4，推导出，即，又，可得平面当时，为的中点，P在上，可证得平面，从而得；
20、（2）由题意可证得平面，则，代入求解即可；（3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用向量夹角公式列出关于的方程，即可得出结论【详解】（1）的面积为4，则，即，又，平面，故平面，当时，则为中点，P在上，平面，平面，又，平面，平面，又平面，（2）平面，平面，即，又，平面，平面多面体的体积（3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，若线段BP与平面夹角余弦值为，则，方程无解不存在，使得线段BP与平面夹角余弦值为20(1)有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与
21、性别相关联(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）由题意得，结合题意，即可得出答案；（2）求导得，分别求出，即可得出答案；（3）由（2）得，利用等比数列的通项公式可得，求出，即可得出答案【详解】（1）解：有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联（2）解：，函数定义域为，则，由得，由得，由得或，在上单调递增，在和上单调递减，当时，取得极小值，且，为函数极小值的倍，当时，2，得从而（3）解：由（2）得，数列是首项为，公比为的等比数列，即，联立得，又，则数列是首项为，公比为的等比数列，由得，的概率分布列为：则，21(1)证明见解析(2)是定值，定值为【分析】（1）利用仿射变换将椭圆方程
22、变为圆的方程，设原斜率分别为，则变换后斜率，设变换后坐标系动点，过点的直线为，将圆的方程和直线方程联立，利用直线和圆相切结合韦达定理求解即可；（2）由图中的垂直关系，利用等面积法和，结合椭圆的性质求解即可.【详解】（1）由仿射变换得：，则椭圆变为设原斜率存在分别为，变换后为，所以，设变换后的坐标系动点，过点的直线为到原点距离为，即，由韦达定理得：，化简得：由于原坐标系中，所以在原坐标系中轨迹方程为：，由解得，所以点的轨迹方程为，当切线斜率不存在时，由椭圆方程易得点在上.（2）如图所示延长交于，延长交于，由题意可知，所以四边形为矩形，所以，且，分子分母同乘得，因为，当直线斜率存在时，设，由解得，
23、所以，由解得，所以，所以，当斜率不存在时仍成立，所以，所以所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是定值.22(1)，函数的单调递增区间为(2)证明见解析【分析】（1）利用极值点导数为0求的值，再利用导数大于0求单调递增区间即可；（2）设，、与交点横坐标分别为，利用作差法比较和的大小进而比较与和与的大小即可.【详解】（1）由题意可得，因为在处取到极值，所以，解得，所以，令，解得，即函数的单调递增区间为.（2）过极值点和设，过极值点和设，、与交点横坐标分别为，联立与得，联立与得，令，所以令，二次函数对称轴为，且时，时，所以在上先单调递增再单调递减，又因为，所以在恒成立，所以在恒成立，所以，所以，令，所以，令，二次函数对称轴为，且时，所以恒成立，所以单调递增，又，所以在上恒成立，所以在恒成立，所以，所以，所以.【点睛】本题难点在于第二问，可看作过和的两条割线，且两条割线交于极值点，进而构造，即可求解.
