1、2022年广西桂林市、崇左市高考数学联考模拟试卷（理科）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1设集合A2，3，4，集合Bx|x23x+m0若AB2，则B（）A1，2B1，0C1，2D1，32已知复数z（3i）2，则的虚部为（）A6B6C6iD6i3已知实数x，y满足不等式组，则x+y的取值范围为（）A2，0B2，2C2，4D2，44若，则sin2（）ABCD5有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到新的样本数据y1，y2，yn，其中yicxi（i1，2，n），且c0，则下列说法中错误的是（）A新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍B新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位
2、数的c倍C新样本数据的方差是原样本数据方差的c倍D新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍6将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则函数f（x）的图象与函数y2sinx（4x6）图象所有交点的横坐标之和等于（）A12B4C6D87在的展开式中，若x2项的系数为270，则实数a的值为（）AB2C3D48如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（）A12000000mm3B8000000mm3C6000000mm3D4000000mm39设Sn为数列an的前n项和，已知a1，则S100（）ABCD10已知F1，F2分别为椭圆1
3、的左、右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，当|MN|最大时，则F1PF2的面积为（）ABCD11已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，PAPD，AB4，则四棱锥PABCD外接球的表面积为（）A24B20C16D812已知函数yax3x2+3ax+5有极大值和极小值，则a的取值范围是（）ABCD（3，3）二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13在平面直角坐标系xOy中，已知，当绕原点逆时针旋转60得到，则的坐标为 14在等比数列an中，若a12，a5，则公比q 15若双曲线（a0）的一
4、条渐近线方程过（1，a），则此双曲线的离心率为 16已知等比数列an的前n项和Sn满足Sn2n+1m，数列bn满足bnlog2an，其中nN*，给出以下命题：m1；若tanbn4对nN*恒成立，则t；设f（n）an+，nN*，则f（n）的最小值为12；设cn，nN*，若数列cn单调递增，则实数的取值范围为（，3）其中所有正确的命题的序号为 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，ab（sinC+cosC）（1）求角B的大小；（2）若A，D为ABC外一点（A、D在直线BC两侧），DB2，DC3，求四边形ABDC面积的最大值18（
5、12分）如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，M是AD的中点（1）证明：BE平面A1B1M；（2）求直线BD1与平面EBD所成角的正弦值19（12分）已知抛物线x22py上一点P（2，1），焦点为F，（1）求|PF|的值；（2）已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且PAPB，过点P作直线AB的垂线，垂足为C，求C点的轨迹方程20（12分）某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？【写出步骤与公式】21（12分）已知f（x）axlnx（aR），
6、（1）当a2时，求f（x）的单调区间；（2）函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2求a的取值范围；实数m满足lnx1+lnx2m，求m的最大值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，m）且斜率为1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22pcos（p0），直线l交曲线C于不同的两点A，B（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）若点M在曲线C的准线上，且|MA|，|AB|，|MB|
7、成等比数列，求m的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+2|x2|（1）解不等式f（x）6（2）已知a0，b0，g（x）f（x）|x+1|的最大值m，m，求a2+b2的最小值2022年广西桂林市、崇左市高考数学联考模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1设集合A2，3，4，集合Bx|x23x+m0若AB2，则B（）A1，2B1，0C1，2D1，3解：由AB2得2B，即x2是方程x23x+m0的根，46+m0，解得m2，B1，2故选：C2已知复数z（3i）2，则的虚部为（）A6B6C6iD6i解：因为z（3i）296i186i，所
8、以8+6i，所以的虚部为6，故选：B3已知实数x，y满足不等式组，则x+y的取值范围为（）A2，0B2，2C2，4D2，4解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）令zx+y得yx+z，平移直线yx+z，由图象可知当直线yx+z经过点A（1，5）时，直线yx+z的截距最大，此时z最大即zmax1+54当直线yx+z经过点B（1，1）时，直线yx+z的截距最小，此时z最小即zmin112故选：D4若，则sin2（）ABCD解：，sin，cos，sin22sincos2（）故选：C5有一组样本数据x1，x2，xn，由这组数据得到新的样本数据y1，y2，yn，其中yicxi（i1，2，n），且
9、c0，则下列说法中错误的是（）A新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍B新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍C新样本数据的方差是原样本数据方差的c倍D新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍解：对于A，根据平均数的定义知，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍，选项A正确；对于B，根据百分位数的定义知，新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍，选项B正确；对于C，根据方差的计算公式知，新样本数据的方差是原样本数据方差的c2倍，所以选项C错误；对于D，根据极差的定义知，新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍，选项D正确故选：C6将函数的图象向左平移1个单位，再向下平
10、移1个单位得到函数f（x），则函数f（x）的图象与函数y2sinx（4x6）图象所有交点的横坐标之和等于（）A12B4C6D8解：由题意得1，函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则f（x），函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且函数y2sinx的周期是2，且点（1，0）也函数的对称点，在同一个坐标系中，画出两个函数的图象：由图象可知，两个函数在4，6上共有12个交点，两两关于点（1，0）对称，设其中对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2212，12个交点的横坐标之和为6212故选：A7在的展开式中，若x2项的系数为270，则实数a的值为（）AB2C3
11、D4解：由二项式展开式的通项公式为Tr+1（1）ra5rx104r，令104r2，则r2，即（1）2a52270，即a3，故选：C8如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（）A12000000mm3B8000000mm3C6000000mm3D4000000mm3解：由三视图可得几何体是四棱锥VABCD，其中面VAB面ABCD；底面ABCD是边长分别为200和300的长方形；棱锥的高是200，由棱锥的体积公式得V2003002004000000mm3，故选：D9设Sn为数列an的前n项和，已知a1，则S100（）ABCD解：数列an，已知a1，所
12、以，.，所有的式子相加得：，整理得，所以，所以Sna1+a2+.+an，得：，整理得：；所以故选：D10已知F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，当|MN|最大时，则F1PF2的面积为（）ABCD解：由椭圆的方程可得，F1（，0），F2（，0），连接PM，PN，则|PM|+|PN|PF1|+|PF2|2a4，所以当M，N，P三点共线时|MN|的值最大，此时MPF1F1PF2NPF2，又因为MPF1+F1PF2+F2PN180，所以F1PF260，在F1PF2中，由余弦定理可得（2c）2|PF1|2+|PF2|22|
13、PF1|PF2|cosF1PF2，即8（|PF1|+|PF2|）23|PF1|PF2|，可得：|PF1|PF2|，所以S|PF1|PF2|sinF1PF2，故选：D11已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，PAPD，AB4，则四棱锥PABCD外接球的表面积为（）A24B20C16D8解：取AD的中点E，PAD 为等腰直角三角形，E为三角形PAD的外心，平面PAD平面ABCD，其中ABCD为长方形，四棱锥PABCD的外接球的球心为长方形ABCD的中心O，设半径为R，则R四棱锥PABCD的外接球的表面积为故选：B12已知函数yax3x2+3ax+5
14、有极大值和极小值，则a的取值范围是（）ABCD（3，3）解：由yax3x2+3ax+5，得y3ax22x+3a，因为函数有极大值和极小值，所以y3ax22x+3a0有两个不同解，所以a0且436a20，解得a故选：B二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13在平面直角坐标系xOy中，已知，当绕原点逆时针旋转60得到，则的坐标为 （，）解：根据题意，设与x轴正方向的夹角为，则A（1，2），|，则sin，cos，则cos（+60）coscos60sinsin60（），sin（+60）sincos60+cossin60（），又由|，则xB|cos（+60），yB|sin（+60），则B的坐标为
15、（，）；故的坐标为（，）；故答案为：（，）14在等比数列an中，若a12，a5，则公比q解：根据题意，由a5a1q4，得2q4，即q4，解得q故答案为：15若双曲线（a0）的一条渐近线方程过（1，a），则此双曲线的离心率为解：根据题意，双曲线（a0）的一条渐近线方程过（1，a），又由该双曲线的一条渐近线方程为2xay0，则有2a20，可得a，b2，则c，则该双曲线的离心率e；故答案为：16已知等比数列an的前n项和Sn满足Sn2n+1m，数列bn满足bnlog2an，其中nN*，给出以下命题：m1；若tanbn4对nN*恒成立，则t；设f（n）an+，nN*，则f（n）的最小值为12；设cn，
16、nN*，若数列cn单调递增，则实数的取值范围为（，3）其中所有正确的命题的序号为等比数列an的前n项和Sn满足Sn2n+1m，a1S14m，a2S2S18m(4m)4，a3S3S216m(8m)8，44(4m)8，即m2，故错误，由可得2，bnlog2an，又若tanbn4对nN*恒成立，t2nn4，设，nN*，求导可得，当0n6时，f(n)0，当n6时，f(n)0，即f(6)为极大值，f(n)f(6)，tanbn4对nN*恒成立，则t，故正确，f（n）an+，nN*，nN*，当且仅，即nlog26，不满足nN*，故错，cn，nN*，数列cn单调递增，424+124，即4+10， 在0n4时单
17、调递增，即2， 故错误，故答案为：三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，ab（sinC+cosC）（1）求角B的大小；（2）若A，D为ABC外一点（A、D在直线BC两侧），DB2，DC3，求四边形ABDC面积的最大值解：（1）在ABC中，ab（sinC+cosC），sinAsinB（sinC+cosC）sin（BC）sinB（sinC+cosC），sin（B+C）sinB（sinC+cosC），sinBcosC+cosBsinCsinBsinC+sinBcosC，cosBsinCsinBsinC，又C（0，），故sinC0，
18、cosBsinB，即tanB1又B（0，），B（2）在BCD中，DB2，DC3，BC232+22232cosD1312cosD，又A，由（1）可知B，ABC为等腰直角三角形，SABCBC23cosD，又SBDCsinD3sinDS四边形ABDC3cosD+3sinD+3sin（D），当D时，四边形ABCD的面积有最大值，最大值为+318（12分）如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，M是AD的中点（1）证明：BE平面A1B1M；（2）求直线BD1与平面EBD所成角的正弦值解：（1）证明：如图，连接B1M，BE，取DD1中点F，连接EF，AF交A1M于O，E，F分别为CC1和D
19、D1中点，四边形ABEF为平行四边形，BEAF，RTA1AMRtADF，FAMAA1M，即AFA1M，A1MBE，A1B1平面B1BCC1，且BE平面B1BCC1，A1B1BE，A1M平面A1B1M，A1B1平面A1B1M，BE平面A1B1M；（2）以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD2，则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），D1（0，0，2），设平面EBD的法向量为，则，令x1，则，直线BD1与平面EBD所成的角的正弦值为19（12分）已知抛物线x22py上一点P（2，1），焦点为F，（1）求|PF|的值；（2）已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且
20、PAPB，过点P作直线AB的垂线，垂足为C，求C点的轨迹方程解：（1）42p，p2，抛物线方程为x24y，准线方程为y1，；（2）由已知直线AB存在斜率，设直线AB的方程为：ykx+t，由有x24kx4t0，记A（x1，y1），（x2，y2），则x1+x24k，x1x24t，kPA，同理kPB，kPAkPB1，t52k，直线AB的方程为：yk（x2）+5，过定点H（2，5），PCHC，则C点的轨迹为PH为直径的圆，其方程为x2+（y3）28，点A，B，C与点P不重合，x2，则轨迹方程为x2+（y3）28（x2）20（12分）某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0
21、.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？【写出步骤与公式】解：A，B，C三类元件故障率分别为：0.10.70.07，0.40.10.04，0.50.20.1，因为其中C类元件的故障率最大，所以应从C元件开始检查21（12分）已知f（x）axlnx（aR），（1）当a2时，求f（x）的单调区间；（2）函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2求a的取值范围；实数m满足lnx1+lnx2m，求m的最大值解：（1）a2时，f（x）2xlnx，x0，当x时，f（x）0，当0x时，f（x）0，所以函数f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间
22、为（0，），（2），x0，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，最多有一个零点，不符合题意；当a0时，x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，所以当x时，函数f（x）取得极小值，也是最小值，即f（x）minf（）1+lna，因为函数f（x）有两个零点，所以f（x）min1+lna0，解得0a，所以a的取值范围是（0，）由条件知，将两式分别相加、相减得lnx1+lnx2a（x1+x2），lnx1lnx2a（x1x2），所以lnx1+lnx2（x1+x2）（+1），设t（0，1），由题意得m对于任意t（0，1）成立，整理即得lntm
23、0对于任意t（0，1）成立，令g（t）lntm，t（0，1），g（t），当m2时，g（t）0，g（t）在（0，1）上单调递增，则g（t）g（1）0，满足条件当m2时，令g（t）0，t1m1（0，1），t2m1+1（舍），当t（t1，1）时，g（t）0，g（t）在（t1，1）上单调递减，所以g（t）g（1）0与条件矛盾，综上，m的最大值为2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，m）且斜率为1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
24、的极坐标方程为sin22pcos（p0），直线l交曲线C于不同的两点A，B（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）若点M在曲线C的准线上，且|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求m的值解：（1）直线l的一个参数方程为 （其中t为参数）由曲线C的极坐标方程为sin22pcos可得2sin22pcos，把xpcos，ysin代入2sin22pcos，得曲线C的直角坐标方程为y22px（p0）（2）因为点M在曲线C的准线上，所以p2，所以曲线C的直角坐标方程为y24x把 代入y24x，得，化简得，因为，所以m0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，因为|MA|，|A
25、B|，|MB|成等比数列，所以，即，因为t1t20，所以，所以，解得m2选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+2|x2|（1）解不等式f（x）6（2）已知a0，b0，g（x）f（x）|x+1|的最大值m，m，求a2+b2的最小值解：（1）函数f（x）|2x+2|x2|，当x2时，不等式f（x）6即为x+46，解得x2，所以x2；当1x2时，不等式f（x）6即为3x6，解得x2，所以x2；当x1时，不等式f（x）6即为x46，解得x10，所以x10综上所述，不等式f（x）6的解集为x|x10或x2；（2）g（x）f（x）|x+1|x+1|x2|（x+1）（x2）|3，所以g（x）的最大值为m3，则3，故a2+b2（a2+b2），当且仅当且，即时取等号，故a2+b2的最小值为
