1、3.2.2双曲线的几何性质学 习 任 务核 心 素 养1掌握双曲线的简单几何性质(重点)2理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)1通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算核心素养2借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？知识点1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形标准方程1 (a0，b0)1 (a0，b0)性质范围xa或xaya或ya对称性对
2、称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a，0)，(a，0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e1渐近线yxyx1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线1的焦点在y轴上()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大()(3)以y2x为渐近线的双曲线有2条()答案(1)(2)(3)2双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_5双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5知识点2等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线(2)性质：在双曲线的标准方程1中，如果ab，那么方程可化为x2y2a2，此时双曲线的实
3、轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直3若等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则它的标准方程是()A1 B1C1 D1B由条件知，等轴双曲线焦点在x轴上，可设方程为1，a2a262，解得a218，故方程为1知识点3直线与双曲线的位置关系将ykxm与1联立消去y得一元方程(b2a2k2)x22a2kmxa2(m2b2)0的取值位置关系交点个数k时相交只有一个交点k且0有两个交点k且0相切只有一个交点k且0相离没有公共点 类型1根据双曲线方程研究几何性质【例1】求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a
4、3，b2，c又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3，0)，(3，0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx1把本例双曲线方程“9y24x236”改为“9y24x236”，它的性质如何？解把方程9y24x236化为标准方程为1，这里a24，b29，c213焦点在y轴上所以顶点坐标为(0，2)，(0，2)，焦点坐标为(0，)，(0，)，实轴长2a4，虚轴长2b6，离心率e，渐近线方程为yxx2把本例中方程“9y24x236”改为“4x29y24”，它的性质又如何？解方程4x29y24可化为标准方程x21，焦点在y轴上，这里a2，b21，c21所以顶点
5、坐标为，焦点坐标为，实轴长2a，虚轴长2b2离心率e渐近线方程为yxx由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤是什么？提示(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质 类型2由几何性质求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；(3)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)解(1)设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则2b8，e，从而b4，ca，代入c2a2b2，得a29，故双曲线的标准
6、方程为1(2)由两顶点间的距离是6得2a6，即a3由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即c6，于是有b2c2a2623227由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1(3)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为1由题意，得解得a2，b24，所以双曲线的方程为1当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为1由题意，得解得a24，b2(舍去)综上所得，双曲线的方程为1法二：设所求双曲线方程为(0)，将点(3，2)代入得，所以双曲线方程为，即11由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式
7、，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，B0)(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置(4)与椭圆1(ab0)共焦点的双曲线系方程可设为1(b2a2)跟进训练1求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点
8、(5，3)；(3)顶点间距离为6，渐近线方程为yx解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1(2)e，ca，b2c2a2a2又焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0)把点(5，3)代入方程，解得a216双曲线的标准方程为1(3)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26当0时，a29，2a261双曲线的标准方程为1或1 类型3求双曲线的离心率【例3】(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y2x，则其离心率为_(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c，0)到一条渐
9、近线的距离为c，求其离心率的值1双曲线渐近线的斜率与其离心率有什么关系？提示e2已知a，b，c的关系式，如何求双曲线的离心率？提示与c2a2b2联立得到的方程组，消去字母b，利用离心率的公式求解(1)或当焦点在x轴上时，2，这时离心率e当焦点在y轴上时，2，即，这时离心率e(2)解因为双曲线的右焦点F(c，0)到渐近线yx，即bxay0的距离为b，所以bc，因此a2c2b2c2c2c2，ac，所以离心率e2求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关
10、于e的方程pe2qer0求解跟进训练2过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_2如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入1中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，b)，此时kPF2，得到c(2)a，即双曲线C的离心率e2 类型4直线与双曲线的位置关系【例4】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解(1)联立方程消去y并整理得(1k2)x22kx20直
11、线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1若l与C有两个不同的交点，实数k的取值范围为(，1)(1，1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|又点O(0，0)到直线ykx1的距离d，SAOB|AB|d，即2k43k20，解得k0或k实数k的值为或0直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考察方程的判别式0时，直线与双曲线有两个不同的公共点0时，直线与双曲线只有一个公共点0，符合题意，所
12、求直线MN的方程为yx，即3x4y50法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上，两式相减，得yy，点A平分弦MN，x1x26，y1y22kMN经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y501已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A|PF1|PF2|3B|PF1|PF2|4C|PF1|PF2|5D|PF1|2|PF2|24A|F1F2|4，根据双曲线的定义知选A2已知双曲线1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()ABCDC由题意知a259，解得a2，故e3已知双曲线1(a0，b0)的一个
13、焦点为F(2，0)，且离心率为e，则双曲线的标准方程为_1由焦点坐标，知c2，由e，可得a4，所以b2，则双曲线的标准方程为14过双曲线x21的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|_3双曲线的左焦点为(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y(x2)，即xy20，由得8y212y90，则y1y2，y1y2|AB|35直线l与双曲线x24y24相交于A，B两点，若点P(4，1)为线段AB的中点，则直线l的方程是_xy30设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，易知k存在且k0，则x4y4，x4y4，两式相减，得(x1x2)(x1x2
14、)4(y1y2)(y1y2)0，又点P(4，1)为线段AB的中点，x1x28，y1y22代入，得(x1x2)(y1y2)0，k1因此直线l的方程是y11(x4)，即xy30回顾本节知识，自我完成以下问题：1 双曲线有哪些几何性质？提示双曲线的范围、对称性、顶点、轴长、离心率和渐近线2如何由双曲线的方程求其渐近线的方程？如何由渐近线的方程求双曲线方程？提示渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得，可得双曲线方程3 如何求双曲线的离心率？提示(1)若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解
