1、云南省 2020 年春季学期末高中学业水平考试 数学试卷 一、选择题：本大题共 19 个小题，每小题 3 分，共 57 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂.1.已知集合 M=1，0，1，N=1，3，则 MN 等于（）A.3B.1C.0，1D.-1，0，1，3【答案】B【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合 M=1，0，1，N=1，3，所以 MN 等于1，故选：B.2.函数()ln(1)f xx的定义域为（）A.(-，1)B.(-，1C.(1，+)D.1，+).【答案】C【解析】【分析】利用对数的性质知10 x 即可求定
2、义域.【详解】由函数解析式知：10 x ，所以1x，即(1,)，故选：C3.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是（）A.59B.49C.23D.13【答案】B【解析】【分析】考虑测度为面积的几何概型.【详解】一块地砖的面积为 a，所以总面积为9a，黑色地砖的总面积为4a，设“最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上”为事件 A,则 4499aP Aa.故选:B【点睛】此题考查几何概型，属于基础题.4.下列函数中，是偶函数的是（）A tanyxB.3xy C.3logyxD.2yx=【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的
3、性质直接判断.【详解】因为tanyx是奇函数，3xy 和3logyx是非奇非偶函数，2yx=是偶函数，故选：D5.计算22log 10log 0.4等于（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】直接利用对数的运算法则化简得解.【详解】由题得222222log 10log 0.4log(10 0.4)log 4log 22.故选：C6.已知角 的终边经过点3 4(,)5 5P，则sin 等于（）A.45B.35-C.43D.34【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角 的终边经过点3 4(,)5 5P，所以 x34,155yr，所以4sin5yr，故选
4、：A7.函数21()logf xxx的零点所在区间（）A.(1,2)B.(2,3)C.1(0,)2D.1(2，1)【答案】A【解析】【分析】根据函数零点存在性定理即可得到结论.【详解】函数()f x 的定义域为(0,)，且函数()f x 单调递增，f（1）2log 1 110 ，f（2）2111log 210222，在(1,2)内函数()f x 存在零点，故选：A.【点睛】本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键.8.在等差数列na的中，若131,5aa，则5a 等于（）A.25B.11C.10D.9【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质
5、直接求解【详解】因为131,5aa，315529aaaa，故选：D 9.在 ABC 中，已知 BC=4，A=45，B=60，则 AC 等于（）A.2 6 B.4 6 C.2 2 D.4 2【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理有 sinsinBCACAB，结合已知即可求 AC.【详解】由正弦定理知：sinsinBCACAB，又 BC=4，A=45，B=60，2 6AC，故选：A10.下列函数中，最小正周期为 的是（）A.sin 2yxB.1cos 2yxC.sin()yx D.cos()2yx【答案】A【解析】【分析】直接利用周期公式分别求出选项中函数的最小正周期即可得答案.【详解】sin 2
6、yx的最小正周期22T，A 正确；1cos 2yx的最小正周期2412T，B 不正确；sin()yx 的最小正周期221T，C 不正确；cos()2yx的最小正周期221T，D 不正确，故选：A11.执行如图所示的程序框图，若输人 x 的值为 1，则输出 y 的值为（）A.2B.7C.8D.128【答案】C【解析】【分析】读懂程序流程图，根据条件结构有12x ，执行9yx即可知输出值.【详解】输入为1x ，结合图中的条件逻辑，12x ，执行9 18y ，故输出 y 的值为 8.故选：C12.若直线 3x-y+1=0 与直线 6x-ay-1=0 平行，则 a 的值为（）A.-2B.2C.-18D
7、.18【答案】B【解析】【分析】解方程3()6(1)0a 即得解.【详解】由题得3()6(1)0,360,2aaa .故选：B13.已知等比数列na的前 n 项和为2,2nS a，公比2q=，则5S 等于（）A.32B.31C.16D.15【答案】B【解析】【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值.【详解】因为等比数列na的前 n 项和为2,2nS a，公比2q=，所以211aaq，又因为()()1 111nnaqSqq-=?-，所以551 1 2311 2S.故选：B.14.已知1sin3，则 cos2a 等于（）A 4 29B.4 29C.79D
8、.79【答案】D【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式直接计算.【详解】1sin3，217cos212sin1299 ，故选：D15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8B.16C.83D.163【答案】A【解析】【分析】由三视图还原直观图得到几何体为高为 4，底面半径为 2 圆柱体的一半，即可求出体积.【详解】由三视图知：几何体直观图为下图圆柱体：高为 h=4，底面半径 r=2 圆柱体的一半，2182Vr h，故选：A16.已知 a b，则下列式子中一定成立的是（）A.11abB.|a|b|C.22abD.22ab【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法以及2xy 的单调性即可
9、判断选项的正误.【详解】对于 A，若1123ab则 11ab，故错误；对于 B，若12ab 则|ab，故错误；对于 C，若12ab 则22ab，故错误；对于 D，由2xy x R 上单调增，即22ab，故正确.故选：D17.若向量a 与b 的夹角为 60，且43ab，则 ab等于（）A.37B.13C.37D.13【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积运算，22222+2+2cos60+abaa b baabb，代入可得选项【详解】因为向量a 与b 的夹角为 60，且43ab，所以 22222+2+2cos60+abaa b baabb2214+2 4 3+3372 所以37ab，故选：C
10、 18.已知变量 x 和 y 满足关系0.11yx ，则下列结论中正确的是（）A.x 与 y 线性正相关 B.x 与 y 线性负相关 C.若 x 增加 1 个单位，则 y 也增加 1 个单位 D.若 x 减少 1 个单位，则 y 也减少 1 个单位【答案】B【解析】【分析】由题意根据一次项的系数的正负可判断得选项【详解】因为变量 x 和 y 满足关系0.11yx ，一次项系数为 0.10，所以 x 与 y 线性负相关，故 A 不正确，B 正确；若 x 增加 1 个单位，则0.1+110.110.1xx ，y 也增加 1 个单位不正确，故 C 不正确；若 x 减少 1 个单位，则0.1110.1
11、10.1xx ，y 也减少 1 个单位不正确，故 D 不正确；故选：B 19.要得到函数 ycos 23x的图象，只需将函数 ycos2 x 的图象（）A.向左平移 3 个单位长度 B.向左平移 6 个单位长度 C.向右平移 6 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的平移变换求解.【详解】因为函数 ycos 2cos 236xx，所以要得到函数 ycos 23x的图象，只需将函数 ycos2 x 的图象向左平移 6 个单位长度，故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象的平移变换，属于基础题.二、填空题:本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 1
12、6 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.20.某组统计数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是_.【答案】21.【解析】【分析】根据茎叶图写出数据并排序即可知中位数.【详解】由茎叶图知：这组数据为18,19,19,21,23,25,30，中位数为 21.故答案为：21.21.已知平面向量2,4,1,1ABBC，则 AC 的坐标为_.【答案】(1,5)【解析】【分析】由 ACABBC，结合向量的坐标运算即可求得 AC 的坐标.【详解】由 ACABBC，而(2,4)AB，(1,1)BC ，(1,5)AC，故答案为：(1,5).22.已知变量 x，y 满足约束条件0,22,20,xyxyy，则目标
13、函数3zxy的最小值为_.【答案】4.【解析】【分析】由已知约束条件得到可行域，结合目标函数过域内的点有最小值，即3zxy在 x 轴上的截距最小，即可求其最小值.【详解】由约束条件可得如下可行域，30 xy平移过程中与可行域有交点，且保证当0y 时直线在 x 轴上的截距最小即可，即当3zxy过点(2,2)A 时，有最小值为 4，故答案为：4.23.若函数 f x 的定义域为a，b，值域也为a，b(ab)，则称函数 f x 是定义在a，b上的“四维光军”函数.已知 222g xxx是1，b上的“四维光军”函数，则常数 b 的值为_.【答案】2【解析】【分析】利用“四维光军”函数的定义，建立定义域
14、和值域之间的关系，即可求解.【详解】因为 2222(1)1g xxxx 在 1，b上是增函数，且(1)1g，所以 1,()1,g bb，即()g bb，解得2b 或1b （不符合区间的定义，舍去）故答案为：2三、解答题:本大题共 4 个小题，第 24 题 5 分，第 25 题 6 分，第 26 题 7 分，第27 题 9 分，共 27 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.在 ABC 中，角,A B C 所对的边分别为,a b c.已知2,3,3 acB.（1）求b 的值；（2）求 ABC 的面积 S.【答案】（1）7；（2）3 32【解析】【分析】（1）由 a，c 及 cosB
15、的值，利用余弦定理即可求出 b 的值；（2）利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积 详解】（1）2,3,3acB，由余弦定理可得 2222cos7bacacB,7b,（2）13 3sin22SacB.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键 25.如图所示，已知 AB平面 BCD，BCCD，M，N 分别是 AC，AD 的中点.（1）求证:MN/平面 BCD；（2）求证:CD平面 ABC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理可得/MNCD，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面
16、垂直的性质可得 ABCD，结合CDBC，再由线面垂直的判定定理，即可得证【详解】（1）因为 M，N 分别是 AC，AD 的中点，所以/MNCD 又 MN 平面 BCD 且CD 平面 BCD，所以/MN平面 BCD；（2）因为 AB 平面 BCD，CD 平面 BCD，所以 ABCD 又CDBC，ABBCB，且,AB BC 在平面 ABC 内，所以CD 平面 ABC 【点睛】证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性
17、质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.26.某市为了推进全国文明城市的创建工作，随机访问了 300 名市民对社会主义核心价值观的了解情况，获得了他们的现场测试成绩，将成绩按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分成五个组，绘制成如图所示的频率分布直方图.现从测试成绩在80，90)与90，100两个分数段内的市民中，采用分层抽样的方法抽取 5 人进行座谈.（1）求这 5 人中测试成绩在80，90)内的人数；（2）若再从这 5 人中随机抽取 2 人作经验交流发言，求这 2 人的测试成绩都在80，90)内的概率.【答案】（1）3；（2）310【解析】【
18、分析】(1)利用频率分布直方图求得，测试成绩在80,90)的频率和测试成绩在90,100的频率为0.020 100.2，再求得测试成绩在80,90)内的人数和测试成绩在90,100内的人数，采用分层抽样的方法可求得这 5 人中测试成绩在80,90)内的人数；(2)由(1)知,抽取的 5 人中,测试成绩在80,90)内的有 3 人，在90,100内的有 2 人，再运用组合知识和古典概率公式可求得这 2 人的测试成绩都在80,90)内的概率【详解】(1)由频率分布直方图可知，测试成绩在80,90)的频率为0.030 10 0.3，测试成绩在90,100的频率为0.020 100.2，所以测试成绩在
19、80,90)内的人数为0.3 30090(人),测试成绩在90,100内的人数为0.2 30060(人),所以从测试成绩在80,90)和90,100两个分数段内的市民中,采用分层抽样的方法抽取 5 人，这 5 人中测试成绩在80,90)内的人数59036090（人），(2)由(1)知,抽取的 5 人中,测试成绩在80,90)内的有 3 人，在90,100内的有 2 人，从这 5 人中随机抽取 2 人共有2510C(种)抽法，这 2 人的测试成绩都在80,90)内的抽法有233C(种)，所以这 2 人的测试成绩都在80,90)内的概率310P 27.已知圆 C 的方程为22(3)(1)9xy.（
20、1）写出圆 C 的圆心坐标和半径；（2）若圆 C 与直线0 xya交于 A，B 两点，当 OAOB 时(其中 O 为坐标原点)，求三角形 OAB 的面积.【答案】（1）圆心坐标是3,1，半径是3；（2）172.【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程的特征，直接写出圆心坐标和半径即可（2）设出点 A，B坐标，联立直线与圆的方程，消去 y，确定关于 x 的一元二次方程，由已知的垂直关系，确定1 2120 x xy y，利用韦达定理求得a，利用圆的弦长公式求出34AB，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，从而可得结论【详解】（1）因为圆222()(),0 xaybr r的圆心坐标是,a b，半径是
21、r，所以圆 C22(3)(1)9xy圆心坐标是3,1，半径是3；（2）由220(3)(1)9xyaxy消去 y，得222(28)210 xaxaa，此时判别式256 164aa 设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则有124xxa，212212aax x，由于OAOB，可得1 2120 x xy y，又11yxa，22yxa，所以21 2122()0 x xa xxa 由得22212402aaaaa，解得1a ，满足0，故1a ，直线0 xya即10 xy，圆心到直线的距离3 1 1222d，12 9342AB，原点到直线的距离为00 1222h，所以三角形 OAB 的面积 11217342222AB h.【点睛】求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式2121lkxx，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
