1、课后限时集训(七十七)不等式的证明建议用时：25分钟1已知a0，b0，c0.(1)求证：a4a2b2b4；(2)若abc1，求证：a3b3c3abbcac.证明(1)要证a4a2b2b4，即证(a2b2)(a4a2b2b4)ab(a4b4)，即证a6b6a5bab5，即证a6b6a5bab50，即证a5(ab)(ab)b50，即证(a5b5)(ab)0，该式显然成立，当且仅当ab时等号成立，故a4a2b2b4.(2)由算术几何平均不等式得a3b3c33abc，a3b313ab，b3c313bc，a3c313ac，将上面四式相加，可得3a33b33c333abc3ab3bc3ac，当且仅当abc
2、1时等号成立即a3b3c3abbcac.2已知a，b为正实数(1)求证：ab；(2)利用(1)的结论求函数y(0x0，b0，所以0，当且仅当ab时等号成立所以ab.(2)因为0x0，由(1)的结论，y(1x)x1.当且仅当1xx即x时等号成立所以函数y(0x0)，且f (x1)0的解集为3,3(1)求m的值；(2)若正实数a，b，c满足m，求证：a2b3c3.解(1)因为f (x1)m|x|，所以f (x1)0等价于|x|m，由|x|m，得解集为m，m(m0)，又由f (x1)0的解集为3,3，故m3.(2)证明：由(1)知3，又a，b，c是正实数，a2b3c(a2b3c)3.当且仅当a1，b
3、，c时等号成立，所以a2b3c3.2已知函数f (x)|2x3|2x1|的最小值为M.(1)若m，nM，M，求证：2|mn|4mn|；(2)若a，b(0，)，a2bM，求的最小值解(1)证明：f (x)|2x3|2x1|2x3(2x1)|2，M2.要证明2|mn|4mn|，只需证明4(mn)2(4mn)2，4(mn)2(4mn)24(m22mnn2)(168mnm2n2)(m24)(4n2)，m，n2,2，m2，n20,4，(m24)(4n2)0，4(mn)2(4mn)20，4(mn)2(4mn)2，可得2|mn|4mn|.(2)由(1)得，a2b2，因为a，b(0，)，所以(a2b)4，当且仅当a1，b时，等号成立所以的最小值为4.
