1、高考资源网（） 您身边的高考专家数学试卷一、单选题（共12题；共60分）1.若集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.2.已知lg a2.31，lg b1.31，则 ( ) A.B.C.10D.1003.下列函数既是奇函数，又在 上为增函数的是（ ） A.B.C.D.4.已知函数 ，若 ，则（ ） A.B.C.D.5.函数 的定义域为（ ） A.B.C.D.6.已知三棱锥 的各棱长都相等， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A.B.C.D.7.若 ，则 的大小关系为（ ）. A.B.C.D.8.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ） A.B.C.2D.9.已知函数 ，则 的
2、值等于 （ ） A.B.C.D.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A.B.3C.D.11.已知A(3,1)，B(1,2)，若 ACB的平分线方程为yx1，则AC所在的直线方程为( ) A.y2x4B.y x3C.x2y10D.3xy1012.在高为 的正三棱柱 中， 的边长为2， 为棱 的中点，若一只蚂蚁从点 沿表面爬向点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A.3B.C.D.2二、填空题（共4题；共20分）13.函数 恒过定点为_ 14.若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是_ 15.函数 的零点所在区间为 (n,n+1),n Z，则
3、 n = _. 16.已知函数 满足 ，对任意的 都有 恒成立，且 ，则关于 的不等式 的解集为_ 三、解答题（共6题；共70分）17.已知 ， ，全集 . （1）求 和 ； （2）已知非空集合 ，若 ，求实数 的取值范围. 18.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时有 . （1）求函数 的解析式； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明. 19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC ， D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，ACBC1 求证： （1）OD 平面A1ABB1； （2）平面A1C1CA 平面BC1D 20.已知函数 . （1）若f(1）f(1)，求
4、a ，并直接写出函数 的单调增区间； （2）当a 时，是否存在实数x，使得 一 ？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由 21.设直线 ， ， （1）若直线 ， ， 交于同一点，求m的值； （2）设直线过点 ，若被直线 ， 截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程 22.已知函数 ， （1）若函数 是奇函数，求实数 的值； （2）在在（1）的条件下，判断函数 与函数 的图像公共点个数，并说明理由； （3）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围 答案解析部分一、单选题1.【答案】 D 【解析】【解答】解: , , .故答案为： .【分析】先解不等式求出集合M
5、和N,再根据交集的运算求出 .2.【答案】 C 【解析】【解答】因为lg a2.31，lg b1.31，所以lg alg blg 2.311.311，所以 10.故答案为：C.【分析】利用对数的运算法则，即可得出结论。3.【答案】 B 【解析】【解答】根据题意,依次分析选项: 对于A, 为奇函数，但在区间 上为减函数，不符合题意; 对于B, ,有 ，所以 奇函数，且在 上为增函数，符合题意； 对于C, ,有 ,即 为偶函数,不符合题意;对于D, 为非奇非偶函数,不符合题意; 故答案为：B.【分析】利用函数的单调性与奇偶性的判断方法，依次分析选项中的函数，即可得答案.4.【答案】 C 【解析】【
6、解答】因为函数 ， 所以 ， ， ， ， 所以 ， 根据零点存在定理得出 ， 故答案为：C.【分析】根据函数解析式求得各端点的函数值的符号，利用零点存在定理列式，即可求出结果.5.【答案】 D 【解析】【解答】要使函数有意义，则需 解得 ，所以函数定义域为 .故答案为：D【分析】根据函数的解析式，可得到函数的定义域.6.【答案】 B 【解析】【解答】取AC中点M，则因为 为 中点，因此ME平行AB，从而异面直线 与 所成角等于MED，因为三棱锥 的各棱长都相等，设为1，则 ，即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选B.【分析】求线面角关键找平行，利用三角形中位线是解决本题的关键，再根据余弦定理求
7、求得结果.7.【答案】 D 【解析】【解答】解：因为 ， ， 即 ，故答案为：D.【分析】由指数函数，对数函数的单调性，求出 的大致范围即可得解.8.【答案】 C 【解析】【解答】由题意，设幂函数的解析式为 ， 根据幂函数的图象过点 ，可得 ，解得 ，即 ，所以 .故答案为：C.【分析】设幂函数的解析式为 ，根据幂函数的图象过点 ，求得 ，结合对数的运算性质，即可求解.9.【答案】 B 【解析】【解答】因为 , 所以 .故答案为：B【分析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.10.【答案】 B 【解析】【解答】解：根据三视图得到原图是一个斜三棱锥，底面是一个底边
8、长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3，故得到体积为3.故答案为：B.【分析】根据三视图得到原几何体表示，底面是一个底边长为2，高为3的三角形，棱锥的高为3的三棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解三棱锥的体积。11.【答案】 C 【解析】【解答】设点A（3,1）关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，即 ，所以直线 的方程为 ，联立 解得 ，即 ,又 ，所以边AC所在的直线方程为 ，故答案为：C.【分析】先求出点A关于直线的对称点A的坐标,得到直线AB的方程,与ACB的平分线方程为yx1的交点即为点C,再求出直线AC的方程.12.【答案】 A 【解析】【解答】如图1， 将矩形 翻折到与平面 共面的位
9、置 ,此时，爬行的最短距离为 ；如图2，将 翻折到与平面 共面的位置 ，易知 ， ，此时爬行的最短距离 ；如图3，将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ，此时，爬行的最短距离 .综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.故选：A.【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A点出发，经过 再到达点D.第二种是从A点出发，经过 再到达点D.第三种是从A点出发，经过 ，最后到达点D.分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.二、填空题13.【答案】 【解析】【解答】当 时， ， 故恒过 【分析】利用指数函数的图象恒过定点的性质结合图象的平移变换，从而求出函数 恒过
10、的定点。14.【答案】 【解析】【解答】当 时， ， ； 当 时， 是减函数， ，要满足 ，此时应满足 ，即 故答案为： 【分析】分类讨论，先由 求出 的取值范围，再结合 时二次函数的单调性求解值域即可15.【答案】 2 【解析】【解答】因为 , 所以 ,由函数零点存在定理知函数 在区间(2,3)上有零点,所以 .故答案为:2【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.16.【答案】 【解析】【解答】由题意，设函数 ， 因为函数 满足 ，即 ，则 ，所以函数 为 上的偶函数，又由 ，则 ，因为对任意的 都有 恒成立，则函数 在 为单调递增函数，所以当 时， ，此时
11、 ，当 时， ，此时 ，所以 的解集为 .故答案为： .【分析】构造新函数 ，求得函数 为 上的偶函数，得出 ，在由任意的 都有 恒成立，得到函数 在 为单调递增函数，结合函数 的取值，即可求解.三、解答题17.【答案】 （1）解：由题意，集合 ， 因为集合 ，则 ，所以 ， （2）解：由题意，因为 ，所以 ， 又因为 ， ，所以 ，即实数 的取值范围为 【解析】【分析】（1）求得集合 ，根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解；（2）由 ，所以 ，结合集合的包含关系，即可求解.18.【答案】 （1）解：由题意，当 时，则 ，可得 ， 因为函数 为奇函数，所以 ，所以函数的解析式为 .（2）
12、解：函数 在 为单调递增函数 证明：设 ，则 因为 ，所以 所以 ，即 故 在 为单调递增函数【解析】【分析】（1）当 时，则 ，可得 ，进而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论.19.【答案】 （1）证明：连结 ， 在三棱柱 中，四边形 为平行四边形，从而O为平行四边形 对角线的交点，所以O为 的中点又D是AC的中点，从而在 ，中，有 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）解：在 中，因为 ，D为AC的中点， 所以 又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，即可
13、得到线面平行； （2）根据面面垂直的判定定理，证明线面垂直即可得到面面垂直.20.【答案】 （1）解：由 ，得 ，解得 此时，函数 所以函数 的单调增区间为 ， （2）解：显然， 不满足 ； 若 ，则 ，由 ，得 ，化简，得 ，无解：若 ，则 ，由 ，得 ，化简，得 令 ， 当 时， ；下面证明函数 在 上是单调增函数任取 ，且 ，则 由于 ，所以 ，即 ，故 在 上是单调增函数。因为 ， ，所以 ，又函数 的图象不间断，所以函数 在 上有且只有一个零点即当 时，有且只有一个实数x满足 因为当 满足 时，实数 也一定满足 ，即满足 的根成对出现（互为相反数）；所以，所有满足 的实数x的个数为2
14、【解析】【分析】（1）根据 ，解方程，求出a，得到函数的表达式，即可求出函数的单调区间； （2）对x的取值分段讨论，结合单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论，即可证明函数的单调性.21.【答案】 （1）解：解 ，得交点 直线 交于同一点，则点C在直线 上，则 解得 （2）解：设 上一点A(a，1 2 a)，则点A关于M（2，0）的对称点B (4 a，2 a 1) 由点B在 上，代入得 ，a= ， 直线l过两点A、M，斜率为 11， 直线l的方程为 【解析】【分析】由直线l1,l2的方程求出交点坐标.代入l3的方程,得到m的值;(2)设出直线l1上点A的坐标,求出点A关于点M的对称点B的
15、坐标,代入直线l2的方程中,求出a的值即得到点A的坐标,再由直线l过点A,M,求直线l的方程.22.【答案】 （1）解：因为 为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有 ，即 ， ，显然 ，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有 .上面等式左右两边同时乘以 得：，化简得: ，上式对定义域内任意 恒成立，所以必有 ，解得 .（2）解：由（1）知 ，所以 ，即 ，由 得 或 ，所以函数 定义域 ，由题意，要求方程 解的个数，即求方程：在定义域 上的解的个数.令 ，显然 在区间 和 均单调递增，又 ， 且 ， ，所以函数 在区间 和 上各有一个零点，即方程 在定义域 上有2个解，所以函数 与函数 的图象
16、有2个公共点.（3）解：要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，必须使 在 上恒成立，令 ，则 ，上式整理得 在 恒成立.令 ， . 当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，恒成立；当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，解得 与 矛盾；当 ，即 时，在 上单调递减，在 上单调递增，所以由 ，解得 ，又 ，所以 .综合得 的取值范围是 【解析】【分析】（1）奇函数满足条件, 将函数解析式代入并化简得到,又对任意成立，所以; （2）要求两函数图像交点个数，可转化为方程在相应区间上的根的个数问题. 题中由得方程， 又, 故方程根的个数为2. （3）问题转化为在上恒成立，令, 则有在恒成立，最后问题转化为关于t的二次函数在2,4)上恒大于0，讨论对称轴的位置，最后可得a的取值范围。- 15 - 版权所有高考资源网
