1、课时跟踪训练(四十八)基础巩固一、选择题1(2017东北三省四市二模)直线 x3y30 与圆(x1)2(y3)210 相交所得弦长为()A.30B.5 32C4 2D3 3解析 由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径 r 10，则圆心到直线的距离 d|193|1232 102，所以弦长为 2r2d2210104 30.答案 A2(2017沈阳市高三质量监测)已知直线 l：yk(x 3)和圆 C：x2(y1)21，若直线 l 与圆 C 相切，则 k()A0 B.3C.33 或 0 D.3或 0解析 因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d|1 3k|1k2 1，|1
2、 3k|1k2，解得 k0 或 k 3，故选D.答案 D3(2017河南省洛阳市高三第一次统考)直线 l：ykx1 与圆 O：x2y21 相交于 A，B 两点，则“k1”是“|AB|2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 依题意，注意到|AB|2|OA|2|OB|2 等价于圆心 O 到直线 l 的距离等于 22，即有1k21 22，k1.因此，“k1”是“|AB|2”的充分不必要条件，选 A.答案 A4(2017陕西省高三质检)已知直线 yax 与圆 C：x2y22ax2y20 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则圆 C 的面积为()A49
3、B36 C7 D6解析 圆 C 的标准方程为(xa)2(y1)2a21，因此圆心C(a,1)到直线 yax 的距离为|a21|a21 32a21，解得 a27，所以圆 C 的面积为(a21)26，选 D.答案 D5(2018河北省定兴三中月考)圆 O：x2y250 与圆 x2y212x6y400 的公共弦长为()A.5B.6C2 5D2 6解析 由题意得，两圆公共弦所在直线的方程为 2xy150.又圆心 O(0,0)到公共弦所在直线 2xy150 的距离为|15|22123 5，则两圆的公共弦长为 2503 522 5.故选 C.答案 C6(2017宁夏银川九中五模)直线 l：kxy40(kR
4、)是圆 C：x2y24x4y60 的一条对称轴，过点 A(0，k)作斜率为 1 的直线m，则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为()A.22B.2C.6D2 6解析 圆 C：x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，表示以 C(2,2)为圆心，2为半径的圆由题意可得，直线 l：kxy40 经过圆心 C(2,2)，所以2k240，解得 k3，所以点A(0,3)，故直线 m 的方程为 yx3，即 xy30，则圆心 C 到直线 m 的距离 d|223|2 12，所以直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 2212 6.故选 C.答案 C二、填空题7(2017四川新津中学月考)若点 P(1,1)为圆
5、C：(x3)2y29的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为_解析 圆心为 C(3,0)，直线 PC 的斜率 kPC12，则弦 MN 所在直线的斜率 k2，则弦 MN 所在直线的方程为 y12(x1)，即2xy10.答案 2xy108已知圆 C1：x2y22mx4ym250 与圆 C2：x2y22x2mym230，若圆 C1 与圆 C2 相外切，则实数 m_.解析 圆 C1 和圆 C2 的标准方程分别为(xm)2(y2)29，(x1)2(ym)24，圆心分别为 C1(m，2)，C2(1，m)，半径分别为 3 和 2.当两圆外切时，m12m225，解得 m2 或 m5.答案 2 或59(
6、2015江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析 直线 mxy2m10(mR)恒过定点(2，1)，当点(2，1)为 圆 和 直 线 的 切 点 时，圆 的 半 径 最 大，此 时 r 122012 2，圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22三、解答题10直线 l 的方程为 mxym20(mR)，圆 O 的方程为 x2y29.(1)证明：不论 m 取何值，l 与圆都相交；(2)求 l 被圆截得的线段长的最小值解(1)证明：证法一：圆心 O 到 l 的距离为 d|m2|1m2，圆 O的半径
7、长为 3.若 l 与圆相交，则有|m2|1m23(m2)208m142920，显然 8m142920(对任意的 m)总成立，|m2|1m20，则 m1，所以直线 l 的方程为 xy10.解法二：由题意，设直线 l 的方程为 xmy1(m0)，即 xmy10，所以圆心 O 到直线 l 的距离 d11m2.又BM2MA，且|OM|1，圆 x2y25 的半径 r 5，所 以r2d2|OM|2d2 2(r2d2|OM|2d2)，即3|OM|2d2 r2d2，所以 9111m2 511m2，解得 m21，又点 A 在第一象限，所以 m1，故直线 l 的方程为 xy10.答案 xy1015(2015全国卷
8、)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若OMON12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1.因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k2 1.解得4 73k4 73.所以 k 的取值范围为4 73，4 73.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)将 ykx1 代入圆 C 的方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以 x1x241k1k2，x1x271k2.OMONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2
9、)14k1k1k2 8.由题设可得4k1k1k2 812，解得 k1，所以 l 的方程为 yx1.故圆 C 的圆心(2,3)在 l 上，所以|MN|2.16(2018河北衡水中学五调)已知圆 C：(x3)2(y4)24，直线 l 过定点 A(1,0)(1)若 l 与圆 C 相切，求 l 的方程；(2)若 l 与圆 C 相交于 P，Q 两点，求CPQ 的面积的最大值，并求此时直线 l 的方程解(1)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x1，符合题意；若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x1)，即 kxyk0.直线 l 与圆 C 相切，圆心(3,4)到直线 l 的距离等
10、于半径，即|3k4k|k21 2，解得 k34，故直线 l 的方程为 y34(x1)，即 3x4y30.综上，所求直线 l 的方程为 x1 或 3x4y30.(2)直线与圆相交于两点，直线的斜率一定存在且不为 0.设直线方程为 kxyk0，则圆心到直线 l 的距离为 d|2k4|1k2.SCPQ12d2 4d2d4d2 4d2d4 d2224，当 d 2时，SCPQ 取得最大值 2.d|2k4|1k2 2，解得 k1 或 k7.故所求直线 l 的方程为 xy10 或 7xy70.延伸拓展(2017江苏南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2y21，圆 M：(xa3)2(y2a)21(a 为实数)若圆 O 和圆 M 上分别存在点 P，Q，使得OQP30，则 a 的取值范围为_解析 由题意知，圆心 M(a3,2a)因为圆 O 和圆 M 上分别存在点 P，Q，使得OQP30，易知当 Q 为线段 OM 与圆 M 的交点，PQ 与圆 O 相切于点 P 时，OQP 最大，且|OP|1，所以|OM|OQ|MQ|3，所以(a3)24a29，解得65a0.答案 65，0
