1、上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)一、填空题(共12小题).1已知复数z1i(i为虚数单位),则Imz 2若直线l上有三点A、B、C到平面的距离均为1,则直线l与平面的位置关系为 3如果圆锥的底面积为,母线长为2,那么该圆锥的侧面积为 4方程的解是 5在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA13,AB5,AD2,则异面直线AB1和DD1的距离为 6若复数(i为虚数单位)是纯虚数,则实数k的值为 7设空间向量(1,2,m),(2,n,4),若,则| 8已知空间四边形ABCD,ABCD2,且AB与CD所成的角为,设E、F分别是BC、AD的中点,则EF
2、的长度为 9已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为2的球,且A、B两点的球面距离为,则该正四棱柱的体积为 10在复数范围内方程z2+2|z|10的解集为 11在空间直角坐标系中,正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi(xi,yi,zi)(i1,2,3,4)设集合Azi|i1,2,3,4,则集合A的元素个数可能为 (写出所有可能的值)12在三棱锥ABCD中,AB、AC、AD两两垂直且长度均为6,定长为l(l4)的线段MN的一个端点M在棱AB上运动,另一个端点N在ACD内运动(含边界),若线段MN的中点P的轨迹的面积为,则l的值为 二、选择题13已知直线l和两个不同的平面,则下列结论
3、正确的是()A若l,l,则B若,l,则lC若l,l,则D若,l,则l14设z1,z2,z3为复数,z10下列命题中正确的是()A若|z2|z3|,则z2z3B若z1z2z1z3,则z2z3C若z3,则|z1z2|z1z3|D若z1z2|z1|2,则z1z215将6个相同的小球放入3个不同的盒子中,每个盒子至多可以放3个小球,且允许有空盒子,则不同的放法共有()种A10B16C22D2816在如图所示的棱长为20的正方体ABCDA1B1C1D1中,点M为CD的中点,点P在侧面ADD1A1上,且到A1D1的距离为6,到AA1的距离为5,则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是()A三角形B四边形
4、C五边形D六边形三、解答题17有8名学生排成一排照相,求满足下列要求的排法的种数(只需列式并计算结果)(1)甲、乙两人相邻;(2)丙、丁两人不相邻;(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)18如图,AB是圆柱OO1的一条母线,BC是底面的一条直径,D是圆O上一点,且ABBC5,CD3(1)求直线AC与平面ABD所成角的大小;(2)求点B到平面ACD的距离19已知mR,、是关于x的方程x2+4x+m0(xC)的两根(1)若为虚数,且|3,求实数m的值;(2)若|2,求实数m的值20如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ABBC4,AD2,E、F分别是AB、CD的中点,沿EF将梯形AE
5、FD翻折至AEFD,使得平面AEFD平面BEFC(1)求证:AEBE;(2)设G为EF上的动点,当AG+GC取最小值时,求异面直线BD与CG所成角的大小;(3)求多面体ABCDEF的体积21如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PAAD4,E为PD中点,F在PC上,且(1)求证:AE平面PCD;(2)求二面角FAEP的大小(3)设平面AEF与直线PB交于点G,求的值参考答案一、填空题1已知复数z1i(i为虚数单位),则Imz1解:因为z1i,故Imz1故答案为:12若直线l上有三点A、B、C到平面的距离均为1,则直线l与平面的位置关系为 平行解:若直线l上有三点A
6、、B、C到平面的距离均为1,则直线l与平面平行,不可能相交,因为三点A,B,C共线故答案为:平行3如果圆锥的底面积为,母线长为2,那么该圆锥的侧面积为2解:设圆锥的底面积半径r,则底面半径为r2,解得r1;由母线长为l2,则该圆锥的侧面积为S侧rl122故答案为:24方程的解是x3或x7解:,x2x3或x+2x318,解得x3或x7方程的解是x3或x7故答案为:x3或x75在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA13,AB5,AD2,则异面直线AB1和DD1的距离为 2解:如图,在长方体体ABCDA1B1C1D1中,因为AD平面DD1C1C,且DD1平面DD1C1C,所以ADDD1,同理可证A
7、DAB1故AD是异面直线AB1和DD1的公垂线段,因此AB1和DD1的距离为AD2故答案为:26若复数(i为虚数单位)是纯虚数,则实数k的值为 1解:因为为纯虚数,所以k10且k+10,解得k1故答案为:17设空间向量(1,2,m),(2,n,4),若,则|9解:因为空间向量(1,2,m),(2,n,4),且,所以,即(2,n,4)(1,2,m),可得,解得m2,n4,所以(1,2,2),(2,4,4),则(3,6,6),所以故答案为:98已知空间四边形ABCD,ABCD2,且AB与CD所成的角为,设E、F分别是BC、AD的中点,则EF的长度为 1或解:如图,取BD中点M,连结FM,EM,由题
8、可知,MFAB,MECD,MF,ME,AB与CD所成的角为,或者,当时,FME为等边三角形,EF1,当时,由余弦定理可知,EF2EM2+MF22EMMFcosFME,EF,综上,EF1或EF,故答案为:1或9已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为2的球,且A、B两点的球面距离为,则该正四棱柱的体积为 8解:设球的球心为O,正四棱柱的高为h,因为球的半径为2,且A、B两点的球面距离为,则有AOB2,所以AOB,又OAOB2,所以AB2,即正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面正方形的边长为2,又正四棱柱的体对角线为外接球的直径,则,解得h,所以该正四棱柱的体积为8故答案为:810在复数
9、范围内方程z2+2|z|10的解集为 1+,i,i解:设zx+yi(x,yR),则原方程化为,则,由可知,y0或x0,故原方程有实根或纯虚数根,若y0,则zx,故|x|2+2|x|10,解得x1+或x;若x0,则zyi,则有|y|1,所以zi综上所述,z1+或z或zi故答案为:1+,i,i11在空间直角坐标系中,正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi(xi,yi,zi)(i1,2,3,4)设集合Azi|i1,2,3,4,则集合A的元素个数可能为 2或3或4(写出所有可能的值)解:若集合A中只有一个元素,则P1P2P3P4在同一个垂直于z轴的平面内,故不可能,当正四面体P1P2P3P4的底面
10、在坐标平面xoy内时,集合A中有2个元素,当正四面体P1P2P3P4的一面与x或y轴平行,集合A有3个元素,当正四面体P1P2P3P4的各面,各边都不与x或y或z轴平行,集合中有4个元素,故集合A的元素可能为2或3或4故答案为:2或3或412在三棱锥ABCD中,AB、AC、AD两两垂直且长度均为6,定长为l(l4)的线段MN的一个端点M在棱AB上运动,另一个端点N在ACD内运动(含边界),若线段MN的中点P的轨迹的面积为,则l的值为 2解:由题意可知,MAN90,在RtAMN中,AP,线段MN的中点P的轨迹是以A为球心,为半径的球面的,所以线段MN的中点P的轨迹的面积为,则l2故答案为:2二、
11、选择题13已知直线l和两个不同的平面,则下列结论正确的是()A若l,l,则B若,l,则lC若l,l,则D若,l,则l解:设m,且ml,由l,则m,由面面垂直的判定定理可得:,即选项A正确,故选:A14设z1,z2,z3为复数,z10下列命题中正确的是()A若|z2|z3|,则z2z3B若z1z2z1z3,则z2z3C若z3,则|z1z2|z1z3|D若z1z2|z1|2,则z1z2解:由复数的形式可知,选项A错误;当z1z2z1z3时,有z1z2z1z3z1(z2z3)0,又z10,所以z2z3,故选项B正确;当z3时,则,所以,故选项C正确;当z1z2|z1|2时,则,可得,所以,故选项D错
12、误故选:BC15将6个相同的小球放入3个不同的盒子中,每个盒子至多可以放3个小球,且允许有空盒子,则不同的放法共有()种A10B16C22D28解:根据题意,分3种情况讨论:2个盒子各放3个小球,一个盒子是空的,有C323种放法,若每个盒子放2个小球,有1种放法,若1个盒子放1个小球,1个盒子放2个小球,最后一个放3个小球,有A326种放法,则有3+1+610种放法,故选:A16在如图所示的棱长为20的正方体ABCDA1B1C1D1中,点M为CD的中点,点P在侧面ADD1A1上,且到A1D1的距离为6,到AA1的距离为5,则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是()A三角形B四边形C五边形D
13、六边形解:截面形状草图,如图所示:由图可知,截面为六边形,故选:D三、解答题17有8名学生排成一排照相,求满足下列要求的排法的种数(只需列式并计算结果)(1)甲、乙两人相邻;(2)丙、丁两人不相邻;(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)解:(1)根据题意,将甲乙看成一个整体,与其他6人全排列即可,有A22A7710080种排法;(2)根据题意,将8人全排列,有A88种排法,其中丙、丁相邻的排法有A22A7710080种,则丙、丁两人不相邻的排法有A88A22A7730240种;(3)根据题意,将8人全排列,有A88种排法,甲乙丙三人的排法有A336种,其中甲站在丙、丁两人的中间有2种,则有甲
14、站在丙、丁两人的中间有13440种18如图,AB是圆柱OO1的一条母线,BC是底面的一条直径,D是圆O上一点,且ABBC5,CD3(1)求直线AC与平面ABD所成角的大小;(2)求点B到平面ACD的距离解:(1)AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD,BC是圆O的直径,BDCD,又BD平面ABD,AB平面ABD,ABBDEB,CD平面ABDCAD是AC与平面ABD所成的角ABBC5,AC5,sinCAD直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin(2)过B作BMAD,垂足为M,由(1)得CD平面ABD,CD平面ACD,平面ABD平面ACD,又平面ABD平面ACDAD,BM平面ABD,BMA
15、D,BM平面ACDBD4,ADBM即B到平面ACD的距离为19已知mR,、是关于x的方程x2+4x+m0(xC)的两根(1)若为虚数,且|3,求实数m的值;(2)若|2,求实数m的值解:(1)因为、是关于x的方程x2+4x+m0(xC)的两根,因为为虚数,设a+bi,则abi,又|3,则a2+b29,解得,因为a(a+bi)(abi)a2+b29m,所以m9;(2)当164m0时,由(1)可知,a+bi+abi4,解得a2,又a(a+bi)(abi)a2+b2m,因为|2,所以|2bi|2,解得b1,故m5;当164m0时,则+4,m,所以|2,即,解得m3综上所述,m3或m520如图,在直角
16、梯形ABCD中,ADBC,ABC90,ABBC4,AD2,E、F分别是AB、CD的中点,沿EF将梯形AEFD翻折至AEFD,使得平面AEFD平面BEFC(1)求证:AEBE;(2)设G为EF上的动点,当AG+GC取最小值时,求异面直线BD与CG所成角的大小;(3)求多面体ABCDEF的体积【解答】(1)证明:因为平面AEFD平面BEFC,EFBE,EFAE,所以AEB是二面角AEFB的平面角,所以AEB90,所以AEBE;(2)解:设G为EF上的动点,当AG+GC取最小值时,EG2,建立空间直角坐标系,如图所示:A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,2),G(0,2
17、,0),所以(2,2,2),(2,2,0),设异面直线BD与CG所成角为,则cos0,所以90;(3)解:多面体ABCDEF的体积为:VABCDEF+VDEBCFSBEAEE1+DE1222+22621如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PAAD4,E为PD中点,F在PC上,且(1)求证:AE平面PCD;(2)求二面角FAEP的大小(3)设平面AEF与直线PB交于点G,求的值解:(1)因为PA平面ABCD,所以PACD,因为底面ABCD为正方形,所以CDAD,又AD,PD平面 PAD,ADPDD,所以CD平面PAD,又AE平面PAD,所以CDAE,因为PAAD4,则PAD是等腰三角形,又E是PD的中点,所以AEPD,又PD,CD平面PCD,PDCDD,所以AE平面PCD(2)如图所示分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立坐标系,则 A(0,0,0),D(0,4,0),E(0,2,2),F(1,1,3),P(0,0,4),C(4,4,0)则,设平面AEF的一个法向量为,所以,取c1,解得b1,a2,所以 是平面AEF的一个法向量,设二面角FAEP的平面角为 ,则(3)平面AEF与直线PB交于点G,设,则,设G(a,b,c),则,(a,b,c4)(4,0,4)a4,b0m8+0+440,所以