1、上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（共12小题）.1已知复数z1i（i为虚数单位），则Imz 2若直线l上有三点A、B、C到平面的距离均为1，则直线l与平面的位置关系为 3如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为 4方程的解是 5在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA13，AB5，AD2，则异面直线AB1和DD1的距离为 6若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为 7设空间向量（1，2，m），（2，n，4），若，则| 8已知空间四边形ABCD，ABCD2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF
2、的长度为 9已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为 10在复数范围内方程z2+2|z|10的解集为 11在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i1，2，3，4）设集合Azi|i1，2，3，4，则集合A的元素个数可能为 （写出所有可能的值）12在三棱锥ABCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为 二、选择题13已知直线l和两个不同的平面，则下列结论
3、正确的是（）A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若，l，则l14设z1，z2，z3为复数，z10下列命题中正确的是（）A若|z2|z3|，则z2z3B若z1z2z1z3，则z2z3C若z3，则|z1z2|z1z3|D若z1z2|z1|2，则z1z215将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种A10B16C22D2816在如图所示的棱长为20的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（）A三角形B四边形
4、C五边形D六边形三、解答题17有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）18如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且ABBC5，CD3（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离19已知mR，、是关于x的方程x2+4x+m0（xC）的两根（1）若为虚数，且|3，求实数m的值；（2）若|2，求实数m的值20如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC4，AD2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AE
5、FD翻折至AEFD，使得平面AEFD平面BEFC（1）求证：AEBE；（2）设G为EF上的动点，当AG+GC取最小值时，求异面直线BD与CG所成角的大小；（3）求多面体ABCDEF的体积21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAAD4，E为PD中点，F在PC上，且（1）求证：AE平面PCD；（2）求二面角FAEP的大小（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值参考答案一、填空题1已知复数z1i（i为虚数单位），则Imz1解：因为z1i，故Imz1故答案为：12若直线l上有三点A、B、C到平面的距离均为1，则直线l与平面的位置关系为 平行解：若直线l上有三点A
6、、B、C到平面的距离均为1，则直线l与平面平行，不可能相交，因为三点A，B，C共线故答案为：平行3如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为2解：设圆锥的底面积半径r，则底面半径为r2，解得r1；由母线长为l2，则该圆锥的侧面积为S侧rl122故答案为：24方程的解是x3或x7解：，x2x3或x+2x318，解得x3或x7方程的解是x3或x7故答案为：x3或x75在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA13，AB5，AD2，则异面直线AB1和DD1的距离为 2解：如图，在长方体体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面DD1C1C，且DD1平面DD1C1C，所以ADDD1，同理可证A
7、DAB1故AD是异面直线AB1和DD1的公垂线段，因此AB1和DD1的距离为AD2故答案为：26若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为 1解：因为为纯虚数，所以k10且k+10，解得k1故答案为：17设空间向量（1，2，m），（2，n，4），若，则|9解：因为空间向量（1，2，m），（2，n，4），且，所以，即（2，n，4）（1，2，m），可得，解得m2，n4，所以（1，2，2），（2，4，4），则（3，6，6），所以故答案为：98已知空间四边形ABCD，ABCD2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度为 1或解：如图，取BD中点M，连结FM，EM，由题
8、可知，MFAB，MECD，MF，ME，AB与CD所成的角为，或者，当时，FME为等边三角形，EF1，当时，由余弦定理可知，EF2EM2+MF22EMMFcosFME，EF，综上，EF1或EF，故答案为：1或9已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为 8解：设球的球心为O，正四棱柱的高为h，因为球的半径为2，且A、B两点的球面距离为，则有AOB2，所以AOB，又OAOB2，所以AB2，即正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面正方形的边长为2，又正四棱柱的体对角线为外接球的直径，则，解得h，所以该正四棱柱的体积为8故答案为：810在复数
9、范围内方程z2+2|z|10的解集为 1+，i，i解：设zx+yi（x，yR），则原方程化为，则，由可知，y0或x0，故原方程有实根或纯虚数根，若y0，则zx，故|x|2+2|x|10，解得x1+或x；若x0，则zyi，则有|y|1，所以zi综上所述，z1+或z或zi故答案为：1+，i，i11在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i1，2，3，4）设集合Azi|i1，2，3，4，则集合A的元素个数可能为 2或3或4（写出所有可能的值）解：若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于z轴的平面内，故不可能，当正四面体P1P2P3P4的底面
10、在坐标平面xoy内时，集合A中有2个元素，当正四面体P1P2P3P4的一面与x或y轴平行，集合A有3个元素，当正四面体P1P2P3P4的各面，各边都不与x或y或z轴平行，集合中有4个元素，故集合A的元素可能为2或3或4故答案为：2或3或412在三棱锥ABCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为 2解：由题意可知，MAN90，在RtAMN中，AP，线段MN的中点P的轨迹是以A为球心，为半径的球面的，所以线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l2故答案为：2二、
11、选择题13已知直线l和两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若，l，则l解：设m，且ml，由l，则m，由面面垂直的判定定理可得：，即选项A正确，故选：A14设z1，z2，z3为复数，z10下列命题中正确的是（）A若|z2|z3|，则z2z3B若z1z2z1z3，则z2z3C若z3，则|z1z2|z1z3|D若z1z2|z1|2，则z1z2解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2z1z3时，有z1z2z1z3z1（z2z3）0，又z10，所以z2z3，故选项B正确；当z3时，则，所以，故选项C正确；当z1z2|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错
12、误故选：BC15将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种A10B16C22D28解：根据题意，分3种情况讨论：2个盒子各放3个小球，一个盒子是空的，有C323种放法，若每个盒子放2个小球，有1种放法，若1个盒子放1个小球，1个盒子放2个小球，最后一个放3个小球，有A326种放法，则有3+1+610种放法，故选：A16在如图所示的棱长为20的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（）A三角形B四边形C五边形D
13、六边形解：截面形状草图，如图所示：由图可知，截面为六边形，故选：D三、解答题17有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）解：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有A22A7710080种排法；（2）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A7710080种，则丙、丁两人不相邻的排法有A88A22A7730240种；（3）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，甲乙丙三人的排法有A336种，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，则有甲
14、站在丙、丁两人的中间有13440种18如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且ABBC5，CD3（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离解：（1）AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，BC是圆O的直径，BDCD，又BD平面ABD，AB平面ABD，ABBDEB，CD平面ABDCAD是AC与平面ABD所成的角ABBC5，AC5，sinCAD直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin（2）过B作BMAD，垂足为M，由（1）得CD平面ABD，CD平面ACD，平面ABD平面ACD，又平面ABD平面ACDAD，BM平面ABD，BMA
15、D，BM平面ACDBD4，ADBM即B到平面ACD的距离为19已知mR，、是关于x的方程x2+4x+m0（xC）的两根（1）若为虚数，且|3，求实数m的值；（2）若|2，求实数m的值解：（1）因为、是关于x的方程x2+4x+m0（xC）的两根，因为为虚数，设a+bi，则abi，又|3，则a2+b29，解得，因为a（a+bi）（abi）a2+b29m，所以m9；（2）当164m0时，由（1）可知，a+bi+abi4，解得a2，又a（a+bi）（abi）a2+b2m，因为|2，所以|2bi|2，解得b1，故m5；当164m0时，则+4，m，所以|2，即，解得m3综上所述，m3或m520如图，在直角
16、梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC4，AD2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至AEFD，使得平面AEFD平面BEFC（1）求证：AEBE；（2）设G为EF上的动点，当AG+GC取最小值时，求异面直线BD与CG所成角的大小；（3）求多面体ABCDEF的体积【解答】（1）证明：因为平面AEFD平面BEFC，EFBE，EFAE，所以AEB是二面角AEFB的平面角，所以AEB90，所以AEBE；（2）解：设G为EF上的动点，当AG+GC取最小值时，EG2，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），G（0，2
17、，0），所以（2，2，2），（2，2，0），设异面直线BD与CG所成角为，则cos0，所以90；（3）解：多面体ABCDEF的体积为：VABCDEF+VDEBCFSBEAEE1+DE1222+22621如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAAD4，E为PD中点，F在PC上，且（1）求证：AE平面PCD；（2）求二面角FAEP的大小（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值解：（1）因为PA平面ABCD，所以PACD，因为底面ABCD为正方形，所以CDAD，又AD，PD平面 PAD，ADPDD，所以CD平面PAD，又AE平面PAD，所以CDAE，因为PAAD4，则PAD是等腰三角形，又E是PD的中点，所以AEPD，又PD，CD平面PCD，PDCDD，所以AE平面PCD（2）如图所示分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则 A（0，0，0），D（0，4，0），E（0，2，2），F（1，1，3），P（0，0，4），C（4，4，0）则，设平面AEF的一个法向量为，所以，取c1，解得b1，a2，所以 是平面AEF的一个法向量，设二面角FAEP的平面角为 ，则（3）平面AEF与直线PB交于点G，设，则，设G（a，b，c），则，（a，b，c4）（4，0，4）a4，b0m8+0+440，所以