1、福建省莆田第六中学2020届高三数学上学期期中试题 理第卷（共60分） 2019-11-8一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量，若，则锐角为（ ）A B C D 2.已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A B C1 D4 3.若实数，满足约束条件，则的最大值等于（ ）A. 2B. 1C. -2D. -44.设等差数列的前项和为，若，则( )A. 36B. 54C. 60D. 815.等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前10项和为A. 65B. 75C. 90D. 1106.已知，则的值为( ) A. B. C.
2、 D. 7.函数在的图象大致为（ ）A.B.C.D. 8.设等比的前项和为，若，则（ ）A. 144B. 117C.81D. 639.如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）A2BCD 10.在ABC中，角A，B，C的对边分别是若，则的最大值为( )AB CD 11.在中，点为的重心，已知，且向量与的夹角为，则的最小值是 （ ）A. B. 6 C. 9 D. 2412.设数列前n项和为，且满足，用表示不超过x的最大整数，设，数列的前2n项和为，则使成立的最小正整数n是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的夹
3、角为_14已知数列满足对任意的，都有，又，则_.15.已知，且，则的最小值为_16.已知在中，则的面积是_ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.数列的前项和满足（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和18.如图所示，在中，分别为上的点，若， （1）求的值； （2）记的面积为，四边形的面积为，若，求的最大值.19.已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.（1）求该椭圆的方程.（2）若，试
4、问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.数列满足 , . (1) 求数列前项和； (2)证明： 对任意的且时，21.已知函数 （ a, b R, ab 0 ）（1）讨论 的单调性；（2）若 恒成立，求的最大值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），直线的参数方程为（为参数）(1)求与的直角坐标方程；(2)过曲线上任意一点作与垂直的直线，交于点，求的最大值23.已知（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集莆田六中19-20学年上学期11月份
5、月考高三数学理科参考答案一、选择题1-5：BAABA 6-10：CCBDD 11-12： BC二、填空题13、 14、255 15、 16、三、解答题12题解：令，得，又，解得，又，所以，又，可求得，.所以，即，所以，即，所以，因此，当时，；当时，.使成立的最小正整数n是6.故选B.17解：（I）当时， 解得2分由，当n2时，3分，即4分数列是等比数列，首项为2，公比为25分6分（II）， 8分10分数列的前项和 12分18（1）在中，由余弦定理可知，1分即2分所以3分由正弦定理得，4分 解得6分（2）依题意7分又，故，8分设则，即9分故，10分即，11分解得，故。当且仅当时等号成立，故的最大
6、值为36. 12分19.【详解】(1)由，1分又由于，一个长轴顶点在直线上，可得：，.3分故此椭圆的方程为.4分（2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆的方程得：，5分由，可得，则，6分，7分又点到直线的距离，8分，9分由于，10分可得：， 故，11分当直线的斜率不存在时，可算得：，12分故的面积为定值1. 12分20. 解：当时，1分当时，2分两式相减得：4分所以，又符合此式，综上：5分所以数列为等比数列，首项为1，公比为，所以6分（2）由（1）可知，所以8分故只需证明下面先证明对任意的且都有9分记（），则所以在上是增函数，又，故10分当且时，所以，即所以，., 11分累加的原式得
7、证。12分21. 22.【详解】（1）曲线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：3分直线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：5分（2）设曲线上任意一点6分点到直线的距离，其中，且8分由题意知：9分当时，10分【点睛】本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的最值问题的关键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考题型.23.因为不等式有实数解，所以1分因为，所以4分故。5分6分当时，所以，故7分当时，所以，故8分当时，所以，故9分综上，原不等式的解集为。10分【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。- 11 -
