1、3.3.1抛物线及其标准方程 知识要点要点一抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做_点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_抛物线焦点准线【方法技巧】(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l的距离之比等于 1.(2)注意定点 F 不在定直线 l 上，否则动点 M 的轨迹不是抛物线，而是过点 F 垂直于直线 l 的一条直线例如，到点 F(0,1)与到直线 l：xy10 的距离相等的点的轨迹方程为
2、xy10，轨迹是一条直线要点二 抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)Fp2，0 xp2y22px(p0)Fp2，0 xp2x22py(p0)F0，p2yp2x22py(p0)F0，p2yp2【方法技巧】1.只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式2标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式3焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x22py(p0)，通常又可以写成 yax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程 yax2 求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式基础自测1判
3、断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线()(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式()(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x22py(p0)，也可以写成yax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的()2抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1 B2C4 D8解析：由y28x得p4，即焦点到准线的距离为4.故选C.答案：C3抛物线x4y2的准线方程是()Ay12 By1Cx 116 Dx18解析：由x4y2得y214x，故准线方程
4、为x 116.故选C.答案：C4已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，2)到焦点的距离为4，则m_.解析：由已知，可设抛物线方程为x22py.由抛物线定义有2p24，p4，x28y.将(m，2)代入上式，得m216.m4.答案：4题型一求抛物线的标准方程探究 1直接法求抛物线方程例 1(1)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是()Ax23yBy26xCx212yDx26y解析：(1)由已知得p23，p6.抛物线的标准方程是x212y.答案：(1)C(2)准线方程为y23的抛物线的标准方程是_.解析：(2)由题意知p223，所以p
5、43，所以抛物线的标准方程是x283y.答案：(2)x283y【方法技巧】在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数 p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程探究 2待定系数法求抛物线方程例 2(1)顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x 或 x24yDy24x 或 x24y解析：(1)设抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20)，把(4,4)代入得168p1或168p2，即p12或p22.故抛物线的标准方程为y24x或x24y.故选C.答案：(1)C(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为_.解
6、析：(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.答案：(2)x210y或x210y【方法技巧】根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：(1)焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可以设为 y2mx(m0)，m0 时焦点在 x 轴的正半轴上，m0 时焦点在 y 轴的正半轴上，m0，则|PC|x5，点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y220 x(x0)；当点P在y轴左侧时，x0，则|PC|x5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y0(x
7、0)或y0(x0时，2pm，所以pm2，抛物线的准线方程为xm4，依题意得1 m4 3，所以m8，所以抛物线的方程为y28x；当m0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p 85，抛物线方程为x2165 y.当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22165 yA，得yA54.又知船露出水面上部分为 34 米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|34 2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航【方法技巧】求抛物线实际应用的五个步骤1建立适当的坐标系2设出合适的抛物线标准方程3通过计算求出抛物线的标准方程4求出需要求出的量5还原到实际问题中，从而解决
8、实际问题变式训练 3如图是抛物线型拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，若水面下降 0.42 米后，则水面宽为()A2.2 米B4.4 米C2.4 米D4 米解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将A(2，2)代入x2my，得m2，x22y，代入B(x0，2.42)得x02.2，故水面宽为4.4 m，故选B.答案：B易错辨析忽略抛物线标准方程的特征致误例 6若抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则 a 的值是_解析：把抛物线方程 yax2 化为标准方程得 x21ay，所以 14a2，解得 a18.答案：18【易错警示】易错原因纠错心得受二次函数的影响，误以为 yax2 就是抛物线的标准方程，从而得到a42，即 a8 的错误结论.根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是 1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.谢谢 观 看
