1、河北省邯郸市2021届高三数学二模试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1已知集合UxN|x5，A1，2，则UA（）A0，3，5B0，3，4C3，4，5D0，3，4，52已知向量（2，6），（1，x），若与反向，则（3+）（）A30B30C100D1003某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选三国演义，125人选水浒传，125人选西游记，50人选红楼梦，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选西游记的学生抽取的人数为（）A5B10C12D154曲线y（x3）ex在x0处的切线方程为（）A2x+y+30B2
2、x+y30C2xy+30D2xy305某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家人驻，各楼层的商铺种类如表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（）生活用品店服装店餐饮店一层2573二层4274三层6123A0.75B0.6C0.4D0.256（x2x）（1+x）6的展开式中x3项的系数为（）A9B9C21D217如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，若正四棱台的高与上底面边长均为1，则半球的体积为（）ABCD8设双曲线C：的焦距为2c（c0），左、右焦点分别是F
3、1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|a|PF1|，则C的离心率的取值范围是（）A（1，）B（，+）C（1，1+D1+，+）二、多项选择题（共4小题）.9若复数z满足（2+i）z+5i0，则（）Az的虚部为2B1+2iCz在复平面内对应的点位于第二象限D|z4|2510设a，b是两条不重合的直线，是三个不同的平面下列四个命题中，正确的是（）A若，则B若，则C若a，a，则D若a，ab，则b11将函数f（x）cos（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（）Ag（x）的最小正周期为Bg（x）的图象关于直线x对称Cg（x）的图象的一个对称中心为（）Dg（x）在（，0）上单调递
4、增12已知函数f（x）满足当x0，1）时，f（x）1x，当x1，+）时，若方程f（x）k在在0，+）上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列，则下面的数可能在这个数列中的是（）A2020B2020C2021D2021+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13写出一个奇函数f（x），当x0时，f（x）0且其导数f（x）0，则f（x） 14直线l1：x+ay20（aR）与直线l2：平行，则a ，l1与l2的距离为 15当0x时，函数的最大值为 16过抛物线y22px（p0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则 四、解答题：共70分解答应写出文
5、字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an满足an0，an+13an+4（）证明：数列an+2为等比数列；（）若a325，求数列ann的前n项和Sn18在四边形ABCD中，ADBC，AD6，BC4，CD2，CBD30（）求BD的长；（）求A19小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品（充话费等）的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立表1购买实物商品（元）（0，100）100，500）500，1000）积分246概率表2购买虚拟商品（元）（0，
6、20）20，50）50，100）100，200）积分1234概率（）求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；（）求小张一个月积分不低于8分的概率；（）若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与数学期望20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC2，CC14，D点在棱CC1上（与端点不重合）（）试确定D在棱CC1上的位置，使得B1DAD；（）在（）的条件下，求平面ABD与平面A1BC1所成锐二面角的大小21已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于
7、点M，若|F1F2|2，ABF2的周长为8（）求椭圆C的标准方程；（），试分析+是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由22已知函数，g（x）mcosxx，m0（）讨论函数f（x）在（，0）（0，）上的单调性；（）若方程mf（x）g（x）在区间（0，）上有且只有一个实数根，求m的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题）.1已知集合UxN|x5，A1，2，则UA（）A0，3，5B0，3，4C3，4，5D0，3，4，5解：UxN|x50，1，2，3，4，5，A1，2，则UA0，3，5，4，故选：D2已知向量（2，6），（1，x），若与反向，则（3+）（）A30B30C100D100解：向量
8、（2，6），（1，x），与反向，可得x3，所以（3+）（2，6）（5，15）10+90100故选：D3某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选三国演义，125人选水浒传，125人选西游记，50人选红楼梦，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选西游记的学生抽取的人数为（）A5B10C12D15解：根据分层抽样的定义可得选西游记的学生抽取的人数为12510，故选：B4曲线y（x3）ex在x0处的切线方程为（）A2x+y+30B2x+y30C2xy+30D2xy30解：y（x3）ex的导数为y（x2）ex，曲线y（
9、x3）ex在x0处的切线的斜率为2，切点（0，3），则切线的方程为y2x3，即2x+y+30故选：A5某商场有三层楼，最初规划一层为生活用品区，二层为服装区，三层为餐饮区，招商工作结束后，共有100家商家人驻，各楼层的商铺种类如表所示，若从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为（）生活用品店服装店餐饮店一层2573二层4274三层6123A0.75B0.6C0.4D0.25解：100家商铺中与最初规划一致的有25+27+2375家，故不一致的有1007525家，所以从所有商铺中随机抽取一家，该商铺所在楼层与最初规划不一致的概率为故选：D6（x2x）（1+x）6的展开式中
10、x3项的系数为（）A9B9C21D21解：因为根据（1+x）6展开式的通项Tr+1，所以（x2x）（1+x）6的展开式中x3项为9x3，所以含x3项的系数9故选：A7如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，若正四棱台的高与上底面边长均为1，则半球的体积为（）ABCD解：连接上底面中心G与球的球心O，连接AO，则AO为 外接球的半径，R，所以外接球的体积为：故选：B8设双曲线C：的焦距为2c（c0），左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|a|PF1|，则C的离心率的取值范围是（）A（1，）B（，+）C（1，1+D1+，+）解：c|PF2|
11、a|PF1|，P在双曲线的右支上，可设P的横坐标为x0（x0a），由双曲线焦半径公式，可得|PF1|a+ex0，|PF2|ex0a，则，a，即，解得e又e1，C的离心率的取值范围是（1，1+故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9若复数z满足（2+i）z+5i0，则（）Az的虚部为2B1+2iCz在复平面内对应的点位于第二象限D|z4|25解：因为（2+i）z+5i0，所以，故z的虚部为2，故选项A正确；，故选项B错误；z在复平面内对应的点位于第三象限，故选项C错误；|z4|z|
12、4|12i|425，故选项D正确故选：AD10设a，b是两条不重合的直线，是三个不同的平面下列四个命题中，正确的是（）A若，则B若，则C若a，a，则D若a，ab，则b解：由a，b是两条不重合的直线，是三个不同的平面，知：对于A，若，则由面面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，若，则与相交或平行，故B错误；对于C，若a，a，则由面面平行的判定定理得，故C正确；对于D，若a，ab，则b或b，故D错误故选：AC11将函数f（x）cos（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（）Ag（x）的最小正周期为Bg（x）的图象关于直线x对称Cg（x）的图象的一个对称中心为（）Dg（x）在（
13、，0）上单调递增解：函数f（x）cos（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）cos（2x）的图象，故函数g（x）的最小正周期为，故A错误；对于B：当x时，g（）1，故B正确；对于C：当x时，g（），故C错误；对于D：当x时，（，0），故函数在该区间上单调递增，故D正确；故选：BD12已知函数f（x）满足当x0，1）时，f（x）1x，当x1，+）时，若方程f（x）k在在0，+）上的根从小到大排列恰好构成一个等差数列，则下面的数可能在这个数列中的是（）A2020B2020C2021D2021+解：当x1，2）时，当x2，+）时，故函数f（x）的周期为2，作出函数f（x）的图象如图所示，
14、当k0时，方程f（x）0的根恰好是1，3，5，成等差数列，2021在此数列中；当k1时，方程f（x）1的根恰好是0，2，4，成等差数列，2020在此数列中；当0k1时，要使方程f（x）k的根成等差数列，则公差只能为1，设方程的根依次为a，a+1，a+2，其中a（0，1），则f（a）f（a+1），即1a，解得，所以在此数列中故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13写出一个奇函数f（x），当x0时，f（x）0且其导数f（x）0，则f（x）（答案不唯一）解：函数为奇函数，当x0时，f（x）0且其导数f（x）0，故f（x）（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）14直线l1：x+
15、ay20（aR）与直线l2：平行，则a，l1与l2的距离为解：根据题意，直线l2：，即3x4y40，若直线l1与直线l2平行，则有1（4）3a，解可得a，当a时，直线l1：xy20，即3x4y60，直线l1与直线l2平行，符合题意，故a，此时两直线间的距离d，故答案为：，15当0x时，函数的最大值为4解：由于当0x，所以0tanx1所以，当tanx时，函数f（x）的最大值为4故答案为：416过抛物线y22px（p0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据抛物线的定义得：|AB|x1+x2+p，由y122
16、px1，y222p2x，相减得，y12y222px12px2，k，则线段MN的中垂线的方程为：y（x）令y0，得R的横坐标为p+，又F（，0），|FR|，则故答案为：四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an满足an0，an+13an+4（）证明：数列an+2为等比数列；（）若a325，求数列ann的前n项和Sn解：（）证明：由an+13an+4，可得an+1+23（an+2），则数列an+2是公比为3的等比数列；（）若a325，又a33a2+4，可得a27，由a23a1+4，可得a11，可得an+2（a1+2）3n13n，则an3n2，ann3n2n，则Sn
17、（3+32+.+3n）2n（1+2+3+.+n）2nn（1+n）18在四边形ABCD中，ADBC，AD6，BC4，CD2，CBD30（）求BD的长；（）求A解：（I）因为ADBC，AD6，BC4，CD2，CBD30，由余弦定理得cos30，解得BD2；（II）因为ADBC，所以CBDADB30，由余弦定理得AB2BD2+AD22ADBDcos30，12+36212，故AB2，因为BD2，所以AADB3019小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品（充话费等）的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1
18、和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立表1购买实物商品（元）（0，100）100，500）500，1000）积分246概率表2购买虚拟商品（元）（0，20）20，50）50，100）100，200）积分1234概率（）求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；（）求小张一个月积分不低于8分的概率；（）若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与数学期望解：（）小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为+，购买虚拟商品不低于100元的概率为，所以所求概率为（）根据条件，积分不低于8分有两种情况：购买实物商品积分为6分，购买
19、虚拟商品的积分为2，3，4分；购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为（1）+（）由条件可知X的可能取值为3，4，5，P（X3），P（X4）P（X5），即分布列如下： X 3 4 5 P 数学期望E（X）3+4+520如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC2，CC14，D点在棱CC1上（与端点不重合）（）试确定D在棱CC1上的位置，使得B1DAD；（）在（）的条件下，求平面ABD与平面A1BC1所成锐二面角的大小解：（）由直三棱柱的性质知，BB1平面ABC，BB1AB，ABBC，BB1BCB，BB1、BC平面B1B
20、C，AB平面B1BC，B1D平面B1BC，ABB1D，若B1DAD，ABADA，AB、AD平面ABD，B1D平面ABD，B1DBD，B1DC1+BDC90，B1DC1+DB1C190，BDCDB1C1，又BCDB1C1D90，BCDDC1B1，设CDx，则C1D4x，即，解得x2，当D是棱CC1的中点时，B1DAD（）以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，2，0），D（2，0，2），A1（0，2，4），C1（2，0，4），（0，2，0），（2，0，2），（0，2，4），（2，0，4），设平面ABD的法向量为（x，y，
21、z），则，即，令x1，则y0，z1，（1，0，1），设平面A1BC1的法向量为（a，b，c），则，即，令c1，则a2，b2，（2，2，1），cos，故平面ABD与平面A1BC1所成锐二面角的大小为21已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|2，ABF2的周长为8（）求椭圆C的标准方程；（），试分析+是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由解：（）因为ABF2的周长为8，则有4a8，解得a2，因为|F1F2|2，所以2c2，故c1，所以b2a2c222123，故椭圆C的标准方程为；（）由题意可得，直线l的斜率存在，
22、设直线l的方程为yk（x+1），由，消去y可得，（3+4k2）x2+8k2x+4k2120，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，设M（0，k），又F1（1，0），所以，故，同理，则，故，所以+是定值22已知函数，g（x）mcosxx，m0（）讨论函数f（x）在（，0）（0，）上的单调性；（）若方程mf（x）g（x）在区间（0，）上有且只有一个实数根，求m的取值范围解：（）f（x），令h（x）xcosxsinx，h（x）cosxxsinxcosxxsinx，当x（，0）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（0，）时，h（x）0，h（x）单调递减，所以当x（，0）时，h（x）h（0）0，当
23、x（0，）时，h（x）h（0）0，所以当x（，0）时，f（x）0，当x（0，）时，f（x）0，所以f（x）在（，0）上单调递增，在（0，）上单调递减（）由题意得mcosxx，即x2mxcosx+msinx0在区间（0，）上有且只有一个实数根，令F（x）x2mxcosx+msinx，则F（x）在（0，）上有且只有一个零点，F（x）2xmcosx+mxsinx+mcosx2x+mxsinxx（2+msinx），当0m2时，2msinx2，所以F（x）0，F（x）在（0，）上单调递增，F（x）F（0）0，所以F（x）在（0，）上无零点；当m2时，令F（x）0，所以sinx（1，0），所以存在唯一x0（0，），使F（x）0，当x（0，x0）时，F（x）0，F（x）单调递增，当x（x0，）时，F（x）0，F（x）单调递减，因为F（0）0，F（）m，当F（）0时，即2m时，F（x）0在（0，）上恒成立，F（x）在（0，）上无零点，不符合题意；当F（）0时，即m时，F（x）在（0，）上有且只有一个零点，符合题意综上，m的取值范围是（，+）
