1、上海宝山区顾村中学2014-2015学年第一学期期中考试试卷高二数学一、填空题（每题3分，共30分）1、2和6的等差中项是_.【答案】4；【解析】依据等差中项定义，易知，即2和6的等差中项是4.2、计算：_.【答案】2；【解析】.3、_.【答案】；【解析】依据矩阵的线性运算法则，可得4、数列的前项和，则数列的通项公式为_.【答案】；【解析】依据，可得，又时亦符合，所以.5、已知，则_.【答案】；【解析】可以直接带入求解.，6、不等式的解集为_.【答案】；【解析】，解之7、已知，与的夹角为，则_.【答案】；【解析】，所以8、已知向量， ，与的夹角为钝角，则的取值范围为_.【答案】；【解析】与的夹
2、角为钝角且与不共线，所以有，解之.9、已知数列为等比数列，且前项和（为实数），则_.【答案】；【解析】由，可得，又为等比数列，所以有，结合，可得.10、观察如图数表，根据表中的变化规律，为与数表中的第_行，第_列.【答案】第行，第列.【解析】数表问题关键在于找到里面的变化规律，通过观察不难发现，数表第行的最后一个数刚好为一个平方数，第行的数据个数刚好为个，结合，可知位于第行，再从行最后一个数字（第行，第列）往前推，可以得到在第行，第列.二、选择题（每题4分，共16分）11、数列的一个通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】可以采用代入法逐一排除，易知选择B.12、向量，则，关
3、系为（ ）A.垂直B.同向平行C.反向平行D.共线【答案】A.【解析】快速排除B，C，D，语义重复，选择A.另外结合，同样可得.13、已知数列满足，则共有（ ）项.A.B. C. D. 【答案】D.【解析】由于，从而可得，所以共有项.14、在等比数列中，且前项和满足，则首项的取值范围为（ ）A.B. C. D. 【答案】D.【解析】结合无穷等比数列前项和极限存在的条件，且，所以有：，解之三、解答题（满分54分）15、（本题满分8分）解关于、的方程组，并对解的情况进行讨论.【答案】当时，解为；当时，解为；当时，方程组无解.【解析】，（1）当时，方程组有唯一解，此时，即；（2）当时，方程组有无穷多
4、组解，通解可表示为；（3）当时，此时方程组无解.16、（本题满分8分）已知数列为等差数列，满足：，求数列的通项公式.【答案】或.【解析】根据等差数列的性质，易知，又，所以或，当，此时数列的通项公式为；当时，数列的通项公式为.17、（本题满分8分）已知，（其中、分别为、轴正方向的单位向量）（1）若，求、的夹角；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】易知，（1）当时，设、的夹角的夹角为，则，所以；（2）由于，所以，由可得：，即，解之.18、（本题满分10分）已知数列中，它的前项和.如果是一个首项为，公比为的等比数列，且，求.【答案】当时，；当时，；当时，.【解析】易知数列亦为等比数列，且首项为，公比为.（1）当时，；（2）当时，；当时，；当时，19、（本题满分10分）已知，与的夹角为，与的夹角为，且，求实数、的值.【答案】【解析】如图所示建立直角坐标系，则，由于，所以有：，解之.20、（本题满分10分）已知数列的前项和.（1）计算、；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（3）对于任意的正整数都有，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）.【解析】（1），；（2）由（1）可以猜想当时，显然成立；假设，当时，说明时，猜想也成立；综合，猜想成立.（3），随着增大，增加，但，由于对均成立，所以即可.
