1、第2课时直线到平面的距离、平面到平面的距离课时过关能力提升1.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60角,则A1C1到底面ABCD的距离为()A.33 B.1 C.2 D.3解析:以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系(图略),则C(0,1,0),C1(0,1,3),A(1,0,0),CC1=(0,0,3),AC1=(-1,1,3),易知C1C平面ABCD,可取CC1为平面ABCD的法向量,故A1C1到平面ABCD的距离为CC1AC1|CC1|=3.答案:D2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N
2、分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN和平面ACD1的距离是()A.12B.22C.13D.32解析:如图所示,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),D1(0,0,1),M1,1,12,N12,1,1,C(0,1,0).所以AD1=(-1,0,1),MN=-12,0,12.所以MN=12AD1.又直线AD1与MN不重合,所以MNAD1.又MN平面ACD1,所以MN平面ACD1.因为AD1=(-1,0,1),D1C=(0,1,-1),AC=(-1,1,0),设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则nAD1=0,nD1C=0,所以-x+z=0,y-z=0,所以x=y=z.令x=1,则
3、n=(1,1,1).又因为AM=1,1,12-(1,0,0)=0,1,12,所以AMn=1+12=32.所以直线MN到平面ACD1的距离为|AMn|n|=32.答案:D3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=9,BC=63,N为BC的中点,则直线D1C1与平面A1B1N的距离是_.答案:94.正方形ABCD与ABEF的边长都为a,若二面角E-AB-C的大小为30,则EF到平面ABCD的距离为.答案:12a5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F,G分别是BB1,CD,AB的中点,求直线GF到平面A1D1E的距离.解:建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(a,0,
4、a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),Ea,a,a2,F0,a2,0.设平面A1D1E的一个法向量为n=(x,y,z),则nA1D1=0,nA1E=0,即(x,y,z)(-a,0,0)=0,(x,y,z)0,a,-a2=0,-ax=0,ay-a2z=0.x=0,y=z2,令z=2,得n=(0,1,2).直线GF到平面A1D1E的距离即为点F到平面A1D1E的距离,又FD1=0,-a2,a,所求距离d=|FD1n|n|=32a5=3510a.6.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为
5、CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D平面ABD;(2)求证:平面EGF平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.(1)证明如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),则C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),Ga2,1,0.B1D=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2),B1DAB=0+0+0=0,B1DBD=0+4-4=0.B1DAB,B1DBD.又ABBD=B,B1D平面ABD.(2)证明AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2),GF
6、=-a2,0,0,EF=(0,1,-1),GFAB,EFBD.又GFEF=F,ABBD=B,平面EGF平面ABD.(3)解由(1)(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段.设B1H=B1D=(0,2,2),则EH=(0,2,2-1),EF=(0,1,-1).EH与EF共线,21=2-1-1,即=14,B1H=0,12,12,HD=0,32,32,|HD|=322.因此,平面EGF与平面ABD的距离为322.7.如图所示,已知四边形ABCD,EADM和MDCF都是边长为a的正方形,点P,Q分别是ED和AC的中点,求:(1)PM与FQ所成的角;(2)点P到平面EFB的距离;(3)异面直线PM
7、与FQ的距离.解:如图所示,以D为坐标原点,直线DA,DC,DM分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,得D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),E(a,0,a),F(0,a,a),则由中点坐标公式得Pa2,0,a2,Qa2,a2,0.(1)PM=-a2,0,a2,FQ=a2,-a2,-a,PMFQ=-a2a2+0-a2+a2(-a)=-34a2,且|PM|=22a,|FQ|=62a,cos=PMFQ|PM|FQ|=-34a222a62a=-32,PM与FQ所成的角为150.(2)设n=(x,y,z)是平面EFB的单位法向量,即|n|=1,n
8、平面EFB,nEF,且nBE.又EF=(-a,a,0),BE=(0,-a,a),即有x2+y2+z2=1,-ax+ay=0,-ay+az=0,得其中的一个解是x=33,y=33,z=33.n=33,33,33,PE=a2,0,a2.设所求距离为d,则d=|PEn|=33a.(3)设e=(x1,y1,z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,则由PM=-a2,0,a2,FQ=a2,-a2,-a,PMe,FQe,得x12+y12+z12=1,-a2x1+a2z1=0,a2x1-a2y1-az1=0.求得其中的一个解e=33,-33,33.又MF=(0,a,0),设所求距离为m,m=|MFe|=-
9、33a=33a.8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BAD=ABC=90,PA=AD=2,AB=BC=1,试问在线段PA上是否存在一点M到平面PCD的距离为33?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.解:根据图形的结构特点,可建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0).PC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2).设直线AP上有一点M(0,0,z0),平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则由nPC=0,nPD=0,得x+y-2z=0,2y-2z=0.令z=1,得x=1,y=1,即n=(1,1,1)为平面PCD的法向量.点M到平面PCD的距离为d=|nMP|n|=33|2-z0|.d=33,|2-z0|=1.解得z0=1或z0=3.当z0=3时,M(0,0,3)在线段AP的延长线上,故舍去;当z0=1时,M(0,0,1)是线段AP的中点.综上所述,线段PA的中点(即点M)到平面PCD的距离为33.9
