1、第1课时离散型随机变量的均值课时过关能力提升1.设随机变量X的分布列为P(X=k)=14(k=1,2,3,4),则EX等于()A.52 B.3.5 C.0.25 D.2解析:EX=114+214+314+414=52.答案:A2.同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上,3枚反面向上的次数为X,则X的均值是()A.20B.25C.30D.40解析:抛掷一次正好出现3枚反面向上,2枚正面向上的概率为C5225=516,所以XB80,516.故EX=80516=25.答案:B3.在某校篮球队的首轮选拔测试中,参加测试的五名同学的投篮命中率分别为35,12,23,34,13,每人
2、均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试,假设每人每次投篮相互独立,则晋级下一轮的人数大约为()A.2B.3C.4D.5解析:五名同学各投篮10次,相当于各做了10次独立重复试验,他们投中的次数服从二项分布,则他们投中的期望分别为1035=6,10126,10346,10136,故晋级下一轮的人数大约为3.答案:B4.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则EX等于()A.100B.200C.300D.400解析:由题意,设没有发芽的种子数为随机变量,则B(1 000,0.1),E=1 0000.1=100,
3、补种的种子数X=2,故EX=E(2)=2E=200.答案:B5.将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX等于()A.6227 B.73 C.6427 D.6527解析:将4个文件放入3个盒子中,有34种方法,P(X=1)=C3134=127,P(X=2)=C32(C41C33A22+C42C22)34=1427,P(X=3)=C42A3334=49,则EX=1127+21427+349=6527.答案:D6.今有两台独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达的台数为X,则EX=.解析:X可能的取值为0,1,2,P(X=0
4、)=(1-0.9)(1-0.85)=0.015,P(X=1)=0.9(1-0.85)+0.85(1-0.9)=0.22,P(X=2)=0.90.85=0.765,所以EX=10.22+20.765=1.75.答案:1.757.马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表:X123P?!?请小牛同学计算的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E=.解析:设P(=1)=P(=3)=a,P(=2)=b,则2a+b=1.E=a+2b+3a=2(2a+b)=2.答案:28.某人共有五发子弹,他射击一次命中目标的概率是12,击
5、中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则EX=_.解析:X的分布列如下:X12345P121418116116EX=112+214+318+4116+5116=3116.答案:31169.在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积的均值是.解析:由题意知,抛掷一次正方体向上一面上的数字为0的概率为12,为1的概率为13,为2的概率为16,则得下表第一次第二次012012121213121611312131313162161216131616则设向上一面上的数字之积为随机变量,的分布列为0124P34
6、1919136所以E=034+119+219+4136=49.答案:4910.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与均值.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部
7、的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C31C121=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记nk(k=1,2,3,4)为其“相近”作物恰有k株的作物株数,则n1=2,n2=4,n3=6,n4
8、=3.由P(X=k)=n1N,得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15.故所求的分布列为Y51484542P2154152515均值为EY=51215+48415+4525+4215=34+64+90+425=46.11.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,且每个小球被抽到的概率相同,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾
9、客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红球,事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球,事件B1=顾客抽奖1次获一等奖,事件B2=顾客抽奖1次获二等奖,事件C=顾客抽奖1次能获奖.由题意可知:A1,A2相互独立,A1A2,A2A1互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A2A1,C=B1+B2.因为P(A1)=410=25,P(A2)=510=12,所以P(B1)=P(A1)P(A2)=2512=15,P(B2)=P(A1A2)+P(A2A1)=P(A1)P(A2)+P(A2)P(A1)=251-12+1-2512=12.所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=15+12=710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以XB3,15,于是,P(X=0)=C30150453=64125,P(X=1)=C31151452=48125,P(X=2)=C32152451=12125,P(X=3)=C33153450=1125.故X的分布列为X0123P6412548125121251125EX=315=35.7
