1、第五节 椭圆授课提示：对应学生用书第361页A组基础保分练1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为（）A4B3C2 D5解析：连接PF2（图略），由题意知，a5，在PF1F2中，|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064答案：A2过点A（3，2）且与椭圆1有相同焦点的椭圆方程为（）A1 B1C1 D1解析：法一：设所求椭圆方程为1（ab0），则a2b2c25，且1，解方程组得a215，b210，故所求椭圆方程为1法二：椭圆1的焦点坐标为（，0），设所求椭圆方程为1（0），将点A（3，2）代入，得1（
2、0），解得10或2（舍去），故所求椭圆方程为1答案：A3（2021衡水模拟）已知椭圆1（ab0）的离心率为，则（）A BC D解析：因为e，所以8a29b2，所以答案：D4已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A1 By21C1 D1解析：由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，所以c1，所以b22，所以C的方程为1答案：A5（2020石家庄质检）倾斜角为的直线经过椭圆1（ab0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且2，则该椭圆的离心率为（）A BC D解析：由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立
3、得（b2a2）y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则0设A（x1，y1），B（x2，y2），则又2，所以（cx1，y1）2（x2c，y2），所以y12y2，可得所以，所以e答案：B6（2021惠州调研）设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A BC D解析：如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，可求得|PF2|，|PF1|2a|PF2|，答案：D7（2021郑州模拟）已知椭圆1（ab0）的右顶点为A（1，0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为_解析：因为椭圆
4、1的右顶点为A（1，0），所以b1，焦点坐标为（0，c），因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以1，a2，所以椭圆的方程为x21答案：x218已知椭圆C：1（ab0）的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积解析：（1）由题意知，离心率e，|PF2|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21（2）由条件可知F1（，0），直线l：yx，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x28x80，设A（x1，y1），B（x2，y
5、2），则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|9已知椭圆1（ab0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B（1）若F1AB90，求椭圆的离心率；（2）若2，求椭圆的方程解析：（1）若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc所以ac，e（2）由题知A（0，b），F1（c，0），F2（c，0），其中c，设B（x，y）由2，得（c，b）2（xc，y），解得x，y，即B将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2又由（c，b），得b2c21，即有a22c21由解得c21，a23，从而有b22所
6、以椭圆的方程为1B组能力提升练1（2021吉安模拟）如图，用与底面成45角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（）A BC D解析：设圆柱的底面圆的直径为d，则椭圆的短轴长为d因为截面与底面成45角，所以椭圆的长轴长为d，所以椭圆的半焦距为 ，则e答案：A2设椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为（）A BC D解析：因为e，故可设a3，c，则b2，SPF1F2b2tanb2tan 45|PF1|PF2|4，因为P在第一象限，所以|PF1|PF2|，又|PF1|PF2|2a6，故|PF1
7、|4，|PF2|2，所以直线PF1的斜率kPF1答案：B3已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2F1F2若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为（）A BC D解析：由椭圆C：1可得a24，b23，c1，可得F1（1，0），F2（1，0），由AF2F1F2，令x1，得y ，不妨设A点坐标为设P（m，n），则点P坐标满足1，又n，则（m1，n）n，可得的最大值为答案：B4（2021温州模拟）正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1（ab0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A BC D解析：设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc又正方形
8、ABCD的四个顶点都在椭圆1（ab0）上，1e2，整理得e43e210，e2，0e答案：B5若F1，F2分别是椭圆E：x21（0b1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_解析：设点A在点B上方，F1（c，0），F2（c，0），其中c，则可设A（c，b2），B（x0，y0），由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代入椭圆方程可得b21，解得b2，故椭圆方程为x21答案：x216设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|PF1|的最小值为_解析：由椭圆的方程可知F2（3，0），由椭
9、圆的定义可得|PF1|2a|PF2|所以|PM|PF1|PM|（2a|PF2|）|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5，2a10，所以|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5答案：57（2020高考全国卷）已知椭圆C1：1（ab0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解析：（1）由已知可设C2的方程为y24cx，其中c不妨设A，C在第一象限
10、，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c由|CD|AB|得4c，即322解得2（舍去）或所以C1的离心率为（2）由（1）知a2c，bc，故C1：1设M（x0，y0），则1，y4cx0，故1因为C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1（舍去）或c3所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212xC组创新应用练1有一个高为12 cm，底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前
11、提下，椭圆的离心率的取值范围是（）A BC D解析：由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为6，短轴长为6，所以椭圆的离心率e，所以e答案：C2已知直线l：ykx2过椭圆1（ab0）的上顶点B和左焦点F，并被圆x2y24截得的弦长为L，若L，则椭圆离心率e的取值范围是_解析：依题意，知b2，kc2设圆心到直线l的距离为d，则L2，解得d2又因为d，所以，解得k2于是e2，所以0e2，解得0e答案：3（2021衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为千米解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米由题意知解得2c85即椭圆形轨道的焦距为85千米答案：85
