1、第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴与直线l的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.(2)直线的倾斜角的取值范围为.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan ,倾斜角是90的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件点斜式过点(x0
2、,y0),斜率为k与x轴不垂直的直线斜截式在y轴上的截距为b,斜率为k两点式过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1x2,y1y2)与两坐标轴均不垂直的直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b0)不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B20)平面内所有直线1.特殊直线的方程:(1)过点P1(x1,y1),垂直于x轴的直线方程为x=x1;(2)过点P1(x1,y1),垂直于y轴的直线方程为y=y1;(3)y轴的方程为x=0;(4)x轴的方程为y=0.2.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系:009090900不存在k0考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确
3、的画“”,错误的画“”.(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.()(2)过点M(a,b),N(b,a)(ab)的直线的倾斜角是45.()(3)若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()(5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.()2.直线2xsin 210-y-2=0的倾斜角是()A.45B.135C.30D.1503.如图所示,在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax与y=x+a的是()4.(2020山东德州高三诊测)过直线l:y=x上的点
4、P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为.5.(2020云南丽江高三月考)经过点(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为.关键能力学案突破考点直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x-3y+1=0的斜率为()A.3B.-3C.33D.-33(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是()A.34,2B.-,34(2,+)C.34,+D.(-,2)(3)若直线l的斜率为k,倾斜角为,且6,423,则k的取值范围是.思考直线的倾斜角和直线的斜率有怎样的关系?解题心得直线的
5、斜率与倾斜角的区别与联系直线l的斜率k直线l的倾斜角区别当直线l垂直于x轴时,l的斜率k不存在当直线l垂直于x轴时,l的倾斜角为2联系k=tan,0,22,.当0,2时,越大,l的斜率越大;当2,时,越大,l的斜率越大.所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都存在斜率对点训练1(1)直线xcos +3y+2=0的倾斜角的取值范围是()A.0,56B.6,56C.6,22,56D.0,656,(2)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为()A.(-,-434,+B.-,-1434,+C.-4,34D.34,4考点求
6、直线的方程【例2】(1)过点P(3,-1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有条,方程为.(2)已知一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线x-3y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程是.(3)在ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为.思考求直线方程的方法是什么?求直线方程时应注意什么?解题心得1.求直线方程的方法:(1)直接法:根据已知条件,选择恰当的直线方程形式,求出方程中的系数,写出直线方程;(2)待定系数法:先根据已知条件设出恰当的直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),解得系数,最后代入
7、设出的直线方程.2.求直线方程应注意:(1)求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.(2)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.(3)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A0.对点训练2(1)已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l的方程是()A.-3x+2y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y
8、+1=0(2)过点(-2,-3)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是.(3)已知2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是.考点直线方程的应用(多考向探究)考向1与基本不等式及函数性质相结合的最值问题【例3】(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,若0a0,b0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.4C.2D.8(2)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.496C.92D.1131.涉及直线的倾斜角与斜率的
9、转化问题,要想到k=tan,必要时可结合正切函数的图象求解.2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法:(1)已知直线在y轴上的截距,常设方程的斜截式;(2)已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,常设方程的截距式(截距均不为0);(3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在的情况;(4)仅知道直线在x轴上的截距,常设方程形式为x=my+a(其中a是直线在x轴上的截距,m是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.1.斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1x2)与两点的顺序无关,
10、且两点的横坐标不相等,若题目中未明确说明两点的横坐标不相等,则要分类讨论.2.设直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后处理常规情况.第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.(1)正向向上0(2)00时,由y=ax可知C,D错误,由y=x+a可知A,B也错误;当a0时,由y=ax可知A,B错误,由y=x+a可知D错误,C正确.故选C.4.x-2y+2=0或x=2若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,此时直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;若直线m的斜率存在,则由题意可知其斜率k0,设直线m的方
11、程为y-2=k(x-2)(k0),令y=0,得x=2-2k,依题意有122-2k2=2,即1-1k=1,解得k=12,故直线m的方程为y-2=12(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.5.x-4y=0或x+y-5=0设直线l在两坐标轴上的截距均为a.若a=0,则直线l过点(0,0)和(4,1),所以直线l的方程为y=14x,即x-4y=0.若a0,则直线l的方程为xa+ya=1,因为直线l过点(4,1),所以4a+1a=1,解得a=5,所以直线l的方程为x5+y5=1,即x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.关键能力学
12、案突破例1(1)C(2)A(3)-3,0)33,1(1)x-3y+1=0可化为y=33x+33,则斜率k=33,故选C.(2)由已知得kAP=3-12-1=2,kBP=-2-1-3-1=34.如图,因为直线l与线段AB始终没有交点,所以斜率k的取值范围是34,2.故选A.(3)当64时,33tan1,故33k1.当23时,-3tan0,故-3k0.综上可知,k-3,0)33,1.对点训练1(1)D(2)A(1)由已知得tan=-33cos.cos-1,1,-33-33cos33,即-33tan33,解得0,656,.故选D.(2)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k(x-1),可知直线l恒过
13、定点P(1,1),则kAP=-4,kBP=34.作出直线AP,BP(图略),可知当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率k的取值范围为(-,-434,+.故选A.例2(1)3x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0(2)3x-y-33=0(3)5x-2y-5=0(1)当截距不为0,且截距相等时,设直线方程为xa+ya=1(a0),将点P的坐标代入直线方程,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0;当截距不为0,且截距互为相反数时,设直线方程为xb+y-b=1(b0),将点P的坐标代入直线方程,解得b=4,所以直线方程为x-y-4=0;当截距为0时,设直线方程为y=kx,将点P的坐标代入直线方
14、程,解得k=-13,所以直线方程为x+3y=0.综上可知,直线有3条,方程为x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.(2)由已知得直线x-3y=0的斜率为33,则其倾斜角为30,故所求直线的倾斜角为60,斜率为3,故所求直线的方程为y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33=0.(3)设C(x0,y0),则Mx0+52,y0-22,Nx0+72,y0+32.因为点M在y轴上,所以x0+52=0,解得x0=-5.因为点N在x轴上,所以y0+32=0,解得y0=-3.所以M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.对点训练2(1)C(2)3x-
15、2y=0或x-y-1=0(3)2x-3y-4=0(1)解方程组x+y=2,2x-y=1,得x=1,y=1,所以两直线的交点为(1,1).因为直线l的一个方向向量v=(-3,2),所以k=-23.所以直线l的方程为y-1=-23(x-1),即2x+3y-5=0.故选C.(2)根据题意,分两种情况讨论:若直线过原点,又由直线过点(-2,-3),则其方程为y=32x,即3x-2y=0.若直线不过原点,由该直线在x轴、y轴上的截距互为相反数,设此时直线的方程为xa-ya=1,又由直线过点(-2,-3),则有-2a-3a=1,解得a=1,故此时直线的方程为x-y-1=0.综上可得,所求直线的方程为3x-
16、2y=0或x-y-1=0.(3)因为(x1,y1)满足方程2x1-3y1=4,所以(x1,y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2,y2)也在直线2x-3y=4上.由两点确定一条直线,可知过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是2x-3y-4=0.例3(1)12直线l1可写成a(x-2)=2(y-2),直线l2可写成2(x-2)=a2(2-y),所以直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,又0a0,b0),将点P(3,2)的坐标代入方程得3a+2b=126ab,即ab24,当且仅当3a=2b时,等号成立,从而SAOB=
17、12ab12,故AOB的面积的最小值为12,此时直线l的斜率k=-ba=-23,从而所求直线l的方程为2x+3y-12=0.所以AOB的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x+3y-12=0.(方法2)依题意,直线l的斜率k存在,且k0,可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),则A3-2k,0,B(0,2-3k),所以SAOB=12(2-3k)3-2k=1212+(-9k)+4(-k)1212+2(-9k)4(-k)=12(12+12)=12,当且仅当-9k=4-k,即k=-23时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0.所以AOB的面积的最小值为12,此时直线l的方程为
18、2x+3y-12=0.例4A由题意知y=2x+2.设P(x0,y0),则在点P处的切线斜率k=2x0+2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,4,所以0k1,即02x0+21,解得-1x0-12.对点训练3(1)B(2)B(1)因为直线ax+by=ab过点(1,1),所以a+b=ab,即1a+1b=1.因为直线在x轴上的截距为b,在y轴上的截距为a,所以直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.(2)由xy-x+2y-5=0,得y=x+5x+2,y=-3(x+2)2,曲线在点A(1,2)处的切线斜率k=-3(1+2)2=-13,曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x=0,得y=73;令y=0,得x=7.所求三角形的面积S=12737=496.故选B.
