1、备考学案五 概率一、随机事件的概率1事件的分类：必然事件，不可能事件，随机事件必然事件与不可能事件合称为确定事件2事件A出现的频率：相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率3对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率4频率与概率的联系与区别（1）联系：实验次数增加时，频率无限接近概率，一般可以用频率来估计概率；（2）区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能
2、不同，而概率是一个客观存在的确定数与每次试验无关5极大似然法：如果我们面临着从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得事件出现的可能性最大”可以作为决策的准则，即哪一个答案能够使事件发生的可能性最大，这个答案即为正解答案6事件的关系与运算（1）包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A，记作；任何事件都包含不可能事件（2）相等关系：如果事件A包含事件B，且事件B包含事件A，那么称事件A和事件B相等，记作A=B（3）把“事件A发生或事件B发生”看作一个事件C，则事件C为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作（4）把“事件A发生且事件B发生”看作一个事件D，则事件D
3、为事件A和事件B的交事件（或积事件），记作（5）若两事件A和B不能同时发生，那么称事件A与事件B互斥（6）若是不可能事件，是必然事件，则称事件A与事件B为对立事件，即任何一次实验中发生的事件不是事件A，就是事件B，没有第三种可能7概率的几个基本性质（1）0P(A)1； （2）必然事件的概率为1，概率为1的事件不一定是必然事件；（3）不可能事件的概率为0，概率为0的事件不一定是不可能事件； （4）如果两事件A与B互斥，则； （5）若两事件A与B对立，则例1：若A，B为互斥事件，则（ ）A. B. C. D. 例2：抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶
4、数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()AA与BBB与CCA与DDC与D例3：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)例4：袋中装
5、有红球、黑球、黄球、绿球共12个从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少 二、古典概型1古典概型：在试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的可能性相等，我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型2(1)互斥事件：若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生(2)对立事件：若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生3(1)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P
6、(AB)P(A) +P(B)该结论可以推广到n个事件的情形：如果事件A1，A2，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1) +P(A2) +P(An)(2)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)P(B)1，也可以表示为P(A)1P(B)4古典概型的概率公式：例1：小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y；(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线xy7上的概率；(2)规定：若xy10，则小王赢；若xy4，则小李赢，其他情况不分输赢试问这个游戏规则公平吗？请说明理由例
7、2：甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率例3：一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本将该样本看成一个总体，从中任取2辆
8、，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率三、几何概型1几何概型：在试验中，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型2几何概型的概率公式：例1：如图，在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率变式训练：如例1图，在等腰直角三角形中，在内部任意作一条射线，与线段交于点，求的概率例2：两人约定在20：00到21：00之间
9、相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率例3：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是，现有一直径等于的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率例4：已知集合Ax|1x0，集合Bx|axb2x10,0a2,1b3(1)若a，bN，求AB的概率；(2)若a，bR，求AB的概率本章整合参考答案：一、随机事件的概率例1：【答案】D例2：【答案】C【解析】A与B互斥且对立；B与C有可能同时发生，即出现6，从而不互斥；A与D不会同时发生，从而A与D互斥，又因为还可能出现
10、2，故A与D不对立；C与D有可能同时发生，从而不互斥例3：解：(1)由已知得，25y1055，xy35，所以x15，y20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1、A2、A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”将频率视为概率，得P(A1)，P(A2)，P(A3)因为AA1A2A3，且
11、A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为例4：解：从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的由题意，得即解得二、古典概型例1：解：(1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)为坐标的点共有36个记点(x，y)落在直线xy7上为事件A，事件A包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A的概率P(A)(2)记xy10为事件B，xy4为事件C，用数对(
12、x，y)表示x，y的取值则事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对；事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对由(1)知基本事件总数为36个，所以P(B)，P(C)，所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的例2：解：(1)甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种从中选出两
13、名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P例3：解：(1)依据条件可知，轿车A、B的抽样，A类轿车抽样比为因此本月共生产轿车
14、502 000(辆)故z2 000(100300150450600)400(辆)(2)设所抽取样本中有a辆舒适型轿车，由题意得，则a2因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)， (B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，
15、(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个故P(E)，即所求概率为(3)样本平均数(9.48.69.29. 68.79.39.08.2)9设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)，即所求概率为三、几何概型例1：解：在上截取 ，于是答：的概率为变式训练：解：在内的射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，在上截取，则，故满足条件的概率为例2：【解析】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时设两人分
16、别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当xy，因此转化成面积问题，利用几何概型求解解：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当xy两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x，y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为例3：解：如图，正三角形内有一正三角形，其中， 当圆心落在三角形之外时，硬币与网格有公共点，有公共点的概率例4：解：
17、(1)因为a，bN，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组令函数f(x)axb2x1，x1,0，则f (x)abln22x因为a0,2，b1,3，所以f (x)0，即f(x)在1,0上是单调递增函数f(x)在1,0上的最小值为a1.要使AB，只需a10，即2ab20所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共7组所以AB的概率为(2)因为a0,2，b1,3，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4由(1)可知，要使AB；只需f(x)mina102ab20，所以满足AB的(a，b)对应的区域是图中的阴影部分所以S阴影1，所以AB的概率为P
