1、第四章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数必备知识预案自诊知识梳理1.角的概念的推广(1)角的定义:一条射线绕着它的旋转所成的图形.(2)角的分类按旋转方向不同分为、和.按终边位置不同分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度.(2)公式:角的弧度数公式|=lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1=180 rad,1 rad=180弧长公式弧长l=
2、扇形面积公式S=12lr=12|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做的正弦,记作sin x叫做的余弦,记作cos yx(x0)叫做的正切,记作tan 各象限符号+-+-+-三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线1.象限角2.轴线角考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)小于90的角是锐角.()(2)三角函数线的方向与坐标轴同向的三角函数值为正.()(3)若sin 0,则是第一、第二象限的角.()(4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.()(5)若角为第一象限角,
3、则sin +cos 1;若0,2,则tan cos sin .()2.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是()A.23B.32C.23D.323.sin 2cos 3tan 4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在4.设角的终边与单位圆相交于点P35,-45,则sin -cos 的值是()A.-75B.-15C.15D.755.(2020北京东城一模,12)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角的终边按逆时针方向旋转6后经过点(-1,3),则sin =.关键能力学案突破考点角的表示及象限的判定【例1】(1)(2020江西九江一模)若sin
4、 0,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)终边在直线y=3x上的角的集合为.(3)若角的终边与67角的终边相同,则在0,2)内终边与3角的终边相同的角为.解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.2.判断角所在的象限,先把表示为=2k+,0,2),kZ,再判断角的象限即可.3.确定角k,k(k2,且kN*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角的范围,再写出k或k的范围,最后根据k的可能取值讨论确定k或k的终边所在位置.对点训练1(1)设集合M=xx=k2180+45,kZ,N=xx=k4180+45,kZ,那么()A.M=NB.MNC.
5、NMD.MN=N(2)(2020陕西榆林一中检测,3)若角满足sin 0,tan ”“”“0,cos30,sin2cos3tan40,0cos1,又sin0,角为第四象限角,故选D.(2)在(0,2)内终边在直线y=3x上的角是3,43,与角3,43终边相同的角分别为2k+3,2k+43=(2k+1)+3,kZ,终边在直线y=3x上的角的集合为=3+k,kZ.(3)=67+2k(kZ),3=27+2k3(kZ).依题意,027+2k32,kZ,解得-37k0,tan0,知为第二象限角,2k+22k+(kZ),k+42k+2(kZ),2为第一或第三象限角.(3)由是第三象限角,得+2k32+2k
6、(kZ),则2+4k20时,r=5a,sin=35,cos=-45,tan=-34,5sin+5cos+4tan=3-4-3=-4;当a0,m=12.例4=因为角的终边落在直线y=-x上,所以角的终边位于第二或第四象限.当角的终边位于第二象限时,sin|cos|+|sin|cos=sin-cos+sincos=0;当角的终边位于第四象限时,sin|cos|+|sin|cos=sincos+-sincos=0.所以sin|cos|+|sin|cos=0.对点训练4是第二象限角,-1cos0,0sin1.sin(cos)0.sin(cos)cos(sin)0,tan0,即sincos,tan0.由
7、tan0可知角为第一或第三象限角,画出单位圆.又sincos,用正弦线、余弦线得满足条件的角的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即4,2,54.(2)由题意,得sinx32,作直线y=32交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为x2k+3x2k+23,kZ.对点训练5k-3,k+3(kZ)3-4sin2x0,sin2x34.-32sinx32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),故xk-3,k+3(kZ).例6(1)B(2)2c216(1)设AOB=,半圆O的半径为r,扇形OCD的半
8、径为r1,依题意,有12r2-12r1212r2=5-12,即r2-r12r2=5-12,故r12r2=3-52=6-254=5-122,得r1r=5-12.(2)设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.(方法1)c=2r+l,r=c-l2(lc),S=12rl=12c-l2l=-14l-c22+c216,当l=c2时,Smax=c216,r=c4,此时=lr=2.(方法2)S=12rl=14(c-l)l14c-l+l22=c216,当且仅当c-l=l,即l=c2时等号成立,此时Smax=c216,r=c4,=lr=2.对点训练6(1)-212(-2)r2(2)3103503-32(1)设扇形的圆心角为,则扇形的周长是2r+r.由题意知2r+r=r,=-2.扇形的面积S=12r2=12(-2)r2.(2)在AOB中,AB=OA=OB=10,故AOB为等边三角形.因此弦AB所对的圆心角的大小为3.故所在的扇形弧长为l=310=103,S弓=S扇-SAOB=1210310-12102sin3=503-5032=503-32.
