1、5.3平面向量的数量积与平面向量的应用必备知识预案自诊知识梳理1.两个向量的夹角给定两个向量a,b,在平面内一点O,作OA=a,OB=b,则称内的为向量a与向量b的夹角,记作.温馨提示(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的,并且0,=.(2)几个特殊情况:=0,此时向量a与b共线且方向相同;=,此时向量a与b共线且方向相反;=2,此时称向量a与向量b垂直,记作ab.2.向量数量积的定义一般地,当a与b都是向量时,称为向量a与b的数量积(也称为内积),记作ab,即.温馨提示(1)由定义可知,两个非零向量的数量积是一个实数.规定:零向量与任何向量的数量积为0.(2)ab的符号由cos的符号决定,从而
2、也就是由的大小决定.两个非零向量的数量积可以是正数,也可以是负数,还可以是零.(3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0,即abab=0.3.向量数量积的性质(1)|ab|a|b|;(2)a2=|a|2,即|a|=aa;(3)cos=ab|a|b|(|a|0,|b|0).4.向量的投影(1)向量在直线上的投影非零向量AB=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A,B,则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影.(2)向量在向量上的投影给定平面上的一个向量b,设b所在的直线为l,则a在上的投影称为a在向量b上的投影.(3)投影的数量一般地,如果a,b都是非零向量,则称为向量a在向量b上的投
3、影的数量.5.向量数量积的几何意义由ab=|a|b|cos=(|a|cos)|b|可知,向量数量积的几何意义为:两个非零向量a,b的数量积ab,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.6.向量数量积的运算律交换律ab=ba数乘结合律(a)b=(ab)=a(b)分配律(a+b)c=ac+bc7.向量数量积的坐标表示(1)两向量的数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=.(2)平面向量长度(模)的坐标表示若a=(x,y),则|a|=;若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2,即A,B两点间的
4、距离为(x2-x1)2+(y2-y1)2.(3)平面向量夹角的坐标表示设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos=ab|a|b|=.(4)两向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab.8.向量在平面几何中的应用(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数0,使等式AB=CD成立即可.(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证ABCD=0.(4)求夹角问题,利用夹角公式cos =ab|a|b|.1.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点,内角A,B,C所
5、对的边长分别为a,b,c,则(1)O为ABC的外心|OA|=|OB|=|OC|.(2)O为ABC的重心OA+OB+OC=0.(3)O为ABC的垂心OAOB=OBOC=OCOA.(4)O为ABC的内心aOA+bOB+cOC=0.2.与向量a=(x,y)垂直的单位向量的坐标易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,所以与a垂直的单位向量b0的坐标为-yx2+y2,xx2+y2,其中正、负号表示不同的方向.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为实数,且有正有负.()(2)若ab=0,则必有ab.()(3)(ab)c=a(bc).()(4
6、)若ab=ac(a0),则b=c.()(5)在ABC中,若ABBC0,则ABC为钝角三角形.()2.已知向量a,b满足a(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为()A.55eB.-55eC.-255eD.-355e3.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模考)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则正确的有()A.ab=5B.与a同向的单位向量是31010,-1010C.a与b的夹角为4D.a与b平行4.(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C
7、.(-2,4)D.(-4,6)5.(2021年1月8省适应性测试)已知单位向量a,b满足ab=0,若向量c=7a+2b,则sin=()A.73B.23C.79D.29关键能力学案突破考点平面向量数量积的运算【例1】(1)(2019天津,14)在四边形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BDAE=.(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b的夹角为6,则(a+b)(2a-b)=()A.12B.-32C.-12D.32解题心得1.求两个向量的数量积的方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos(
8、其中是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加、减、数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.对点训练1在ABCD中,|AB|=8,|AD|=6,N为DC的中点,BM=2MC,则AMNM=.考点平面向量数量积的性质及其应用(多考向探究)考向1求平面向量的模【例2】(1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a(a-2b),则|2a+b|的值是.(2)已知向量a,b为单位向量,且ab=-12,向量c与a+
9、b共线,则|a+c|的最小值为()A.1B.12C.34D.32考向2求平面向量的夹角【例3】(1)(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.1935(2)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56考向3平面向量的垂直【例4】(1)(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.(2)(2020湖南师大附中高三模拟)已知向量a=52,0,b=(0,5)的起点均为原点,而终点依次对应
10、点A,B,线段AB上存在点P,若OPAB,OP=xa+yb,则x,y的值分别为()A.15,45B.43,-13C.45,15D.-13,43解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=aa及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.3.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
11、对点训练2(1)(2020福建厦门一模)已知a=(1,1),b=(2,m),a(a-b),则|b|=()A.0B.1C.2D.2(2)(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.考点平面向量的综合应用(多考向探究)考向1平面向量在三角函数中的应用【例5】已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解题心得向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关
12、三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.对点训练3已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,3),b=(cos ,sin ),R.(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;(2)当0,2时,若存在两个不同的,使得|a+3b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.考向2平面向量在平面几何中的应用【例6】已知在RtABC中,C=90,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=12AB;(2)若E为CD的中点,连接
13、AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).解题心得用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.对点训练4ABC是等腰直角三角形,B=90,D是边BC的中点,BEAD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:ADB=FDC.考向3平面向量在物理中的应用【例7】在风速为75(6-2) km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.解题心得利用向量法解决物理问题时,要认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的向量关系,通过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题.对点训练5已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)
