1、4.3三角函数的图像与性质必备知识预案自诊知识梳理1.正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图像定义域RR值域R奇偶性奇函数周期性周期,最小正周期为周期,最小正周期为续表函数y=sin xy=cos xy=tan x单调性递增区间-2+2k,2+2k(kZ)-+2k,2k(kZ)-2+k,2+k(kZ)递减区间2+2k,32+2k(kZ)2k,+2k(kZ)无零点(kZ)2+k(kZ)(kZ)对称轴方程无对称中心(k,0)2+k,0k2,0问题思考正弦函数、余弦函数的最值是多少?在何处取得?(1)正弦函数y=sinx,当且仅当x=2+2k,kZ时,取得最
2、大值1;当且仅当x=-2+2k,kZ时,取得最小值-1.(2)余弦函数y=cosx当且仅当x=2k,kZ时,取得最大值1;当且仅当x=(2k+1),kZ时,取得最小值-1.2.函数的周期一般地,对于函数f(x),如果存在一个T,使得对定义域内的,都满足,那么就称函数f(x)为周期函数,叫做这个函数的周期.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sin x,x0,2的图像中,五个关键点是:(0,0),2,1,(,0),32,-1,(2,0).(2)余弦函数y=cos x,x0,2的图像中,五个关键点是:(0,1),2,0,(,-1),32,0,(2,1).2.对称与周期:正弦曲线
3、、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12周期.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)y=cos x在第一、第二象限内是单调递减的.()(2)若y=ksin x+1,xR,则y的最大值是k+1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()(4)函数y=sin x图像的对称轴方程为x=2k+2(kZ).()(5)函数y=tan x在整个定义域上是增函数.()2.(2020北京房山二模,3)函数f(x)=sin xcos
4、 x的最小正周期为()A.1B.2C.D.23.(2020山东淄博一模,5)函数f(x)=sin(x+)在0,上单调递增,则的值可以是()A.0B.2C.D.324.函数f(x)=sin2x-4在区间0,2上的最小值为()A.-1B.-22C.22D.05.函数y=tanx2+3的单调递增区间是,最小正周期是.关键能力学案突破考点三角函数的定义域【例1】(1)函数y=1tanx-1的定义域为.(2)函数y=lg(sin x)+cosx-12的定义域为.解题心得三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.对点训练1函数y=lg(sin 2x)+9-x2的定
5、义域为.考点三角函数的值域、最大(小)值【例2】(1)函数f(x)=3sin2x-6在区间0,2上的值域为()A.-32,32B.-32,3C.-332,332D.-332,3(2)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x0,2的最大值是.解题心得求三角函数值域、最大(小)值的方法(1)利用sinx和cosx的值域直接求.(2)形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(x+)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最大(小)值).(3)利用sinxcosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.对
6、点训练2(1)(2020河北衡水调研)已知函数f(x)=sinx+6,其中x-3,a,若f(x)的值域是-12,1,则实数a的取值范围是.(2)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为.考点三角函数的性质(多考向探究)考向1三角函数的单调性及其应用【例3】(1)已知函数f(x)=3sin x+cos x(0),y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于,则f(x)的单调递增区间是()A.k-12,k+512,kZB.k+512,k+1112,kZC.k-3,k+6,kZD.k+6,k+23,kZ(2)(2020湖南湘潭三模,文10)已知函数f(x)=2sin x
7、(0)在xa,2(a0)的形式,然后求y=Asin(x+)的单调区间,只需把(x+)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要把化为正数.2.已知函数在某区间上单调求参数的范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.对点训练3(1)若函数f(x)=sin x(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则等于()A.23B.32C.2D.3(2)函数f(x)=sin-2x+3的单调递减区间为.考向2三角函数的周期及其应用【例4】(1)(2020全国1,理7,文7)设函数f(x)=cosx+6在-,的图像大致如下图,则f(x
8、)的最小正周期为()A.109B.76C.43D.32(2)若函数f(x)=2tankx+3的最小正周期T满足1T0)图像的一个对称中心为M9,0,距离点M最近的一条对称轴为直线x=518,则=.解题心得三角函数图像的对称性包括轴对称和中心对称,求三角函数f(x)=Asin(x+)(0)图像的对称轴及对称中心,要把(x+)看作一个整体,若求f(x)的对称轴,只需令x+=2+k(kZ),求x;若求f(x)的对称中心,只需令x+=k(kZ),求x;对于f(x)=Acos(x+),若求f(x)的对称轴,只需令x+=k(kZ),求x;若求f(x)的对称中心,只需令x+=2+k(kZ),求x.对点训练5
9、(1)(2020湖北武汉调研)设函数f(x)=sin12x+-3cos12x+|2的图像关于y轴对称,则=()A.-6B.6C.-3D.3(2)(2020河北衡水中学三模,理15)已知函数f(x)=2sin(2x+)的图像关于点38,0对称,且f40,|0,0)是R上的偶函数,其图像关于点M34,0对称,且在区间0,2上是单调函数,则=,=.解题心得1.已知三角函数的周期性、奇偶性判断其单调性的基本思路:根据给出的三角函数的周期性、奇偶性求出三角函数式中的参数,然后把三角函数式化成y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式再判断其单调性.2.有关三角函数性质的综合性问题,要注重结合函数图像,通过数形结合求解.对点训练6(1)(2020河北武邑中学三模,10)已知x0=6是函数f(x)=cos2-3xcos +cos 3xsin 的一个极小值点,则f(x)的一个单调递增区间是()A.6,2B.-3,6C.2,56D.3,23(2)已知函数f(x)=sin(x+)0,|2的最小正周期为4,且xR,有f(x)f3成立,则f(x)图像的一个对称中心坐标是()A.-23,0B.-3,0C.23,0D.53,0
