1、第二章函数2.1函数的概念及其表示必备知识预案自诊知识梳理1.函数及其相关的概念一般地,给定两个A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的,在集合B中实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),xA,其中x称为自变量,y称为因变量,(即数集)称为这个函数的定义域,所有组成的集合yB|y=f(x),xA称为函数的值域.2.同一个函数如果两个函数表达式表示的函数相同,也相同,则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.3.函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图像法和描点作图法.4.分段函数(1)定义:如果一个函数,在其定义域内,对于,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
2、(2)分段函数的相关结论分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.1.判断两个函数是同一个函数的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.2.与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有1个交点.3.函数定义域的求法考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果函数y=f(x)是用图像给出,则图像在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.()(2)函数y=f(x)的图像与直线x=1有两个交点.()(3)两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定是同一个函数.()(4)分段函数是由两个或几个函数
3、组成的.()2.(2020北京,11)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是.3.已知f,g都是从A到A的映射(其中A=1,2,3),其对应关系如下表:x123f312g321则f(g(3)等于()A.1B.2C.3D.不存在4.(2020辽宁大连模拟,文2)设函数f(x)=1-x2,x1,x2+x-2,x1,则f1f(2)的值为()A.1516B.-2716C.89D.185.已知函数f(2x+1)的定义域为(-2,0),则f(x)的定义域为()A.(-2,0)B.(-4,0)C.(-3,1)D.-12,1关键能力学案突破考点函数及其相关的概念【例1】以下给出的同组函数中,表示同一个函数
4、的有.(1)f1:y=xx;f2:y=1.(2)f1:y=1,x1,2,1x2,3,x2;f2:xx11x1,则ff(-2)=.考向2求参数的值(范围)【例5】设f(x)=x,0x1,x2-1,x1,则f(x)f(x+1)的解集为()A.(-1,+)B.(-1,1)C.-12,+D.-12,1解题心得分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应分类讨论.(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.对点训练4(1)(2020湖南郴州
5、二模,文14)函数f(x)=1+log3(3-x),x0,且ff-76=1,则a=()A.32B.2C.3D.ln 2(3)设函数f(x)=x+1, x0,2x,x0,则满足f(x)+fx-121的x的取值范围是.考点函数在实际生活中的应用【例7】某地区上年度电价为0.80元/kWh,年用电量为a kWh.本年度计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间,而用户期望电价为0.40元/kWh.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.30元/kWh.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
6、(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解题心得利用函数的有关知识解决数学应用问题,关键是建立函数关系式,为此,要从题目的文字表述中寻找等量关系.对点训练5(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t2时刻,甲企业
7、的污水治理能力比乙企业强;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,甲企业在0,t1的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.类型一已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域其解法是:若f(x)的定义域为a,b,则在fg(x)中,令ag(x)b,从中解得x的取值范围即为fg(x)的定义域.【例1】已知函数f(x)的定义域为-1,5,求f(3x-5)的定义域.
8、【解题指导】该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知-1u5,即-13x-55,求x的取值范围.解f(x)的定义域为-1,5,-13x-55,43x103,故函数f(3x-5)的定义域为43,103.类型二已知fg(x)的定义域,求f(x)的定义域其解法是:若fg(x)的定义域为mxn,则由mxn确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.【例2】已知函数f(x2-2x+2)的定义域为0,3,求函数f(x)的定义域.【解题指导】令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),由于f(u)与f(x)是同
9、一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域.解由0x3,得1x2-2x+25.令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),1u5.故f(x)的定义域为1,5.类型三已知fg(x)的定义域,求fh(x)的定义域其解法是:先由fg(x)的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f h(x)的定义域.【例3】函数y=f(x+1)的定义域是-2,3,则y=f(2x-1)的定义域是()A.0,52B.-1,4C.-5,5D.-3,7答案A解析因为f(x+1)的定义域是-2,3,即-2x3,所以-1x+14,则f(x)的定义域-1,4.由-12x-14,得0x52,所以f(2x-1)的定义域是0,52.故选A.类型四运算型的抽象函数求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.【例4】若函数f(x)的定义域是-3,5,求(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域.解由f(x)的定义域为-3,5,则(x)必有-3-x5,-32x+55,解得-4x0.所以函数(x)的定义域为-4,0.
