1、2022年广州市真光中学“热身”考试-数学（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1.已知,i是虚数单位,且则的值是 （）A2 B C D2. A=x|x1,B=x|0则 （）AB CD3.设,则“且”是“”的 （）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4. 设二次函数的值域为,则的最小值为（）A B C D5. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （）ABCD6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( )侧（左）视图正（主）视图俯视图. . . .7. 某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的结果的
2、值是（）A5B6C7D88. 函数是 ( ). 周期为的奇函数 .周期为的偶函数.周期为的奇函数 .周期为的偶函数9. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为（）A B C D10.假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域如图，是平面内的任意一个封闭区域.现给出如下结论： （ ） 过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域； 过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域； 过区域内的任意一点至少存在两条直线平分区域； 过区域内的某一点可能存在无数条直线平分区域.第10题图其中结论正确的是 （ ） A BCD 二填空题： 本大题共5小题，考生作
3、答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（1113题）11. 已知向量，都是单位向量，且，则的值为 .12. 在圆内任取一点,则该点恰好在区域内的概率为_13. 如下图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有个点,相应的图案中总的点数记为,则_ （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. 已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .15. 如图2,在中,斜边,直角边,如果以C为圆心的圆与AB相切于,则圆C的半径长为_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或
4、推证过程16.(本题满分12分)已知向量,函数 (1)求函数的最小正周期; (2)在中,分别是角的对边,且,且,求的值.17. (本题满分12分) 高一(1)班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: (1)求高一(1)班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数,并计算频率分布直方图中 间的矩形的高;(2)若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究,求至少有一人分数在之间的概率.8(本题满分14分)三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,AB=BC=AC=AA1=2，CDAC1 ,E、F分别是BB1、CC1中点.(1)证明:平
5、面DEF平面ABC; (2)证明:CD平面AEC1.（3）求图中由“两个平行的平面DEF与面ABC，以及侧面ADE，侧面ABE，侧面BCFE，侧面ACFD”围成的几何体体积19（本题满分14分） 已知点是中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点,离心率为 ,椭圆的左右焦点分别为F1和F2 . (1)求椭圆方程; (2)点M在椭圆上,求面积的最大值;(3)试探究椭圆上是否存在一点P,使,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.20（本题满分14分）已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.21（本题满分14分）已知
6、函数.(1)求函数的单调区间; (2)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.班别：_姓名：_学号：_ -数学（文科）答卷二、填空题：11、_ 12、_ 13、_ 14、_ 15、_ ， _.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16、（本小题满分12分）17、（本小题满分12分）18、（本小题满分14分）19、（本小题满分14分）20、（本小题满分14分）21、（本小题满分14分）2022年广州市真光中学“热身”考试-数学(文科)答案一、选择题：DBAAD ACCCB二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题 16.解:
7、(1) 4分函数的最小周期 5分(2) 6分是三角形内角, 即: 7分 即: 9分将代入可得:,解之得: 11分, ,. 12分17. 解.(1)分数在之间的频数为,频率为, 高一(1)班参加校生物竞赛人数为 3分所以分数在之间的频数为 4分频率分布直方图中间的矩形的高为. 6分(2)设至少有一人分数在之间为事件A 将之间的人编号为,之间的人编号为, 在之间的任取两人的基本事件为:, ,. 共个 9分其中,至少有一个在之间的基本事件有个 根据古典概型概率计算公式,得 11分答:至少有一人分数在之间的概率 12分18.解: (1)证明:依题意,知CA=CC1,又CDAC1,所以,D为AC1的中点
8、, 又F为CC1的中点,所以,DFAC,而AC平面ABC,所以,DF平面ABC, 同理可证:EF平面ABC,又DFEF=F,所以,平面DEF平面ABC; 4分(2)AB=2,则DF=1,EF=2,DFE=60,由余弦定理,求得:DE=, 又CD=,CE=,所以,CD2+DE2=CE2,所以,CDDE, 又CDAC1,DE=D,所以,CD平面AEC1 9分 法2：构造AC中点O，证四边形OBDE为平行四边形，从而,又由题意得，,后同法1,（3）作中点G，易得所求多面体体积 14分（具体步骤格式请酌情给分） 19解:(1)设椭圆方程为. 由已知, 1分, 2分. 解得 4分所求椭圆方程为 5分(2
9、)令 , 则 6分,故的最大值为 当时,的最大值为 9分(3)假设存在一点P, 使, PF1F2为直角三角形, 又 2-,得 13分 即=5,但由(1)得最大值为,故矛盾, 不存在一点P, 使 14分20解：（1）由题意得，解得， 2分 4分（2）由（1）得， -得 . ， 8分设，则由得随的增大而减小，随的增大而增大。9分时， 又恒成立， 10分 （3）由题意得恒成立 记，则 12分是随的增大而增大 的最小值为，即. 14分21. 1.解:(1)函数的定义域为, 1分设 , 当时,在上恒成立,则在上恒成立,此时在上单调递减 2分当时, (I)由得. 当时,恒成立, 在上单调递增. 3分当时,恒成立, 在上单调递减 4分(II)由得或;. 当时,开口向下,在上恒成立, 则在上恒成立,此时在上单调递减 当,开口向上,在上恒成立,则在上恒成立, 此时 在上单调递增 6分(III)由得 若,开口向上,且,都在上 由,即,得或; 由,即,得. 所以函数的单调递增区间为和, 单调递减区间为. 8分当时,抛物线开口向下,在 恒成立,即在(0,+恒成立,所以在单调递减 9分综上所述:递减递增递减递增递增其中 9分(2)因为存在一个使得, 则,等价于. 10分令,等价于“当 时,” 对求导,得 12分因为,由,所以在上单调递增,在上单调递减 由于,所以,因此 14分12
