1、高三数学（理）一轮复习 教案 第二编 函数与基本初等函数 总第5期2.2函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则下列对f(x)=0的根说法不正确的是 （填序号）. 有且只有一个 有2个至多有一个 没有根答案 2.已知f（x）是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的 函数（用“增”、“减”填空）.答案 减3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-，1上是减函数，则a的取值范围是 . 答案 1，34.（2009徐州六县一区联考）若函数f(x)是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x0，y0满足f(xy)
2、=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)1).证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数.证明 方法一 任取x1,x2(-1,+),不妨设x10,1且a0,a又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=a+0,故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.方法二 f(x)=ax+1-(a1),求导数得f(x)=axlna+,a1,当x-1时，axlna0,0,f(x)0在（-1，+）上恒成立，则f(x)在（-1,+）上为增函数.方法三 a1,y=ax为增函数，又y=，在（-1，+）上也是增函数.y=ax+在（-1，+）上为增函数. 例2 判断函数f(x)=在定义域上的单调性
3、.解 函数的定义域为x|x-1或x1,则f(x)= ,可分解成两个简单函数.f(x)= =x2-1的形式.当x1时，u(x)为增函数，为增函数.f（x）=在1，+)上为增函数.当x-1时，u（x)为减函数，为减函数，f(x)=在（-,-1上为减函数. 例3 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-;(2)y=2x-;(3)y=x+;(4)y=.解 （1）由3+2x-x20得函数定义域为-1，3，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0，4，0，2，从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为2，4.（2） 方法一 令=t(t0),则x=.y=1-t2-t=-（
4、t+2+.二次函数对称轴为t=-,在0，+）上y=-(t+2+是减函数，故ymax=-(0+2+=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-，1.方法二 y=2x与y=-均为定义域上的增函数，y=2x-是定义域为x|x上的增函数，故ymax=2=1,无最小值.故函数的值域为(-,1.(3)方法一 函数y=x+是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x0时,即可知x0时,y=x+2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x0时，y-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-，-44，+），无最值.方法二 任取x1,x2,且x1x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(
5、x2+)=所以当x-2或x2时，f(x)递增,当-2x0或0x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.解 （1）设x1,x2R，且x10,f(x2-x1)1. 2分f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. 5分f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数. 7分（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3， 10分原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 12分解
6、得-1m0）的单调性.解 方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+）上的单调性，设x1x20,则f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)（1-）.当0x21,则f（x1）-f（x2）0，即f(x1)x2时，00,即f(x1)f(x2),故f（x）在，+）上是增函数.f（x）是奇函数，f（x）分别在（-，-、，+）上为增函数；f（x）分别在-，0）、（0，上为减函数.方法二 由f(x)=1-=0可得x=当x时或x0，f（x）分别在，+）、（-，-上是增函数.同理0x或-x0时，f(x)0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y= t.t=
7、4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.又y=t在（0，+）上是减函数，函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).3.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？解 （1）
8、P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）=-20x2+2 500x-4 000（x1，100且xN）.MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000）=2 480-40x （x1，100且xN）.（2）P（x）=-20(x-2+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 120（元）.因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）.因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.4.已知定义在区
9、间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则1,由于当x1时，f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数，由f(|x|
10、)9,x9或x9或x-9.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 .答案 ，4）2.已知函数f（x）在区间a，b上单调，且f（a）f（b）0，则下列对方程f（x）=0在区间a，b上根的分布情况的判断有误的是 （填序号）. 至少有一实根 至多有一实根没有实根 必有惟一的实根 答案 3.函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R,则m的取值范围是 . 答案 m14.函数f(x)(xR)的图象如下图所示，则函数g(x)=f(logax) (0a1)的单调减区间是 . 答案 ,1 5.已知f(x)=是（-,+）上的减函数，那么a的取值范围是 .
11、答案 ，）6.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3 (xR)是偶函数，则f(x)的单调减区间是 .答案 0，+）7.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)0时有f(x)0.（1）求证：f(x)在（-,+)上为增函数；（2）若f(1)=1,解不等式flog2(x2-x-2)x1,则x2-x10.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在（-,+)上为增函数.（2）解 f(1)=1,2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 又flog2(x2-x-2)2,f
12、log2(x2-x-2)f(2).log2(x2-x-2)2,于是即-2x-1或2x3.原不等式的解集为x|-2x-1或2x0且f(x)在（1,+）内单调递减，求a的取值范围.（1）证明 任设x1x20,x1-x20,f(x1)f(x2),f(x)在(-,-2)内单调递增.（2）解 任设1x10,x2-x10,要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立，a1.综上所述知00时，f(x)0,f(1)=- .(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；（2）求f(x)在-3，3上的最值.解 （1）f(x)在R上是单调递减函数证明如下：令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x10,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又x0时，f(x)0,f(x2-x1)0,即f(x2)f(x1).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.（2）f(x)在R上是减函数，f（x）在-3，3上也是减函数.f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3（-=-2.f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在-3，3上最大值为2，最小值为-2.29
