1、1平面向量基本定理如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1、e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设
2、 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abx1y2x2y10.【知识拓展】1若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果 x20，y20，则 abx1x2y1y2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(5)当向量的起点在坐
3、标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()1设 e1，e2 是平面内一组基底，那么()A若实数 1，2 使 1e12e20，则 120B空间内任一向量 a 可以表示为 a1e12e2(1，2 为实数)C对实数 1，2，1e12e2 不一定在该平面内D对平面内任一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1，2 有无数对答案 A2(教材改编)已知 a1a2an0，且 an(3,4)，则 a1a2an1 的坐标为()A(4,3)B(4，3)C(3，4)D(3,4)答案 C解析 a1a2an1an(3，4)3(2015课标全国)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC等于()A
4、(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)答案 A解析 AB(3,1)，AC(4，3)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)4已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则mn_.答案 12解析 由已知条件可得 manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb 与 a2b 共线，2mn43m2n1，即 n2m12m8n，mn12.5(教材改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为_答案(1,5)解析 设 D(x，y)，则由ABDC，得(4,1)(5x,6y)，
5、即45x，16y，解得x1，y5.题型一 平面向量基本定理的应用例 1 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD交于点 F.若ACa，BD b，则AF等于()A.14a12bB.12a14bC.23a13bD.13a23b答案 C解析 ACa，BD b，AD AO OD12AC12BD 12a12b.E 是 OD 的中点，DEEB13，DF13AB.DF 13AB13(OB OA)1312BD(12AC)16AC16BD 16a16b，AFAD DF 12a12b16a16b23a13b，故选 C.思维升华 平面向量基本定理应用的
6、实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 如图，在ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB 211AC，则实数 m 的值为_答案 311解析 设BPkBN，kR.因为APABBPABkBNABk(ANAB)ABk(14ACAB)(1k)ABk4AC，且APmAB 211AC，所以 1km，k4 211，解得 k 811，m 311.题型二 平面向量的坐标运算例 2(1)已知 a(5，
7、2)，b(4，3)，若 a2b3c0，则 c 等于()A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43(2)已知向量 a(1，2)，b(m,4)，且 ab，则 2ab 等于()A(4,0)B(0,4)C(4，8)D(4,8)答案(1)D(2)C解析(1)由已知 3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以 c133，43.(2)因为向量 a(1，2)，b(m,4)，且 ab，所以 142m0，即 m2，所以 2ab2(1，2)(2,4)(4，8)思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想
8、的运用及正确使用运算法则(1)(2016北京东城区模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则_.(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC2AD，则顶点 D 的坐标为()A(2，72)B(2，12)C(3,2)D(1,3)答案(1)4(2)A解析(1)以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则 A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，aAO(1,1)，bOB(6,2)，cBC(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即61，23，解得 2，12，4.(2)设
9、 D(x，y)，AD(x，y2)，BC(4,3)，又BC2AD，42x，32y2，x2，y72，故选 A.题型三 向量共线的坐标表示命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标例 3 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_答案(3,3)解析 方法一 由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44,4)又ACOC OA(2,6)，由AP与AC共线，得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3,3)，所以点 P 的坐标为(3,3)方法二 设点 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4,4)，且OP 与O
10、B 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2,6)，且AP与AC共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为(3,3)命题点 2 利用向量共线求参数例4(2016郑州模拟)已知向量 a(1sin，1)，b(12，1sin)，若ab，则锐角 _.答案 45解析 由 ab，得(1sin)(1sin)12，所以 cos212，cos 22 或 cos 22，又 为锐角，45.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件
11、是 x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量(1)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_(2)设OA(2,4)，OB(a,2)，OC(b,0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则1a1b的最小值为_答案(1)(2,4)(2)32 22解析(1)在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB，DC 2AB.设点 D 的坐标为
12、(x，y)，则DC(4,2)(x，y)(4x,2y)，AB(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4)(2)由已知得AB(a2，2)，AC(b2，4)，又ABAC，所以(a2，2)(b2，4)，即a2b2，24，整理得 2ab2，所以1a1b12(2ab)(1a1b)12(32ab ba)12(322ab ba)3 2 22(当且仅当 b 2a 时，等号成立)11解析法(坐标法)在向量中的应用典例(12 分)给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为23.如图所示，点 C 在以
13、 O为圆心的 AB 上运动若OC xOA yOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解 以 O 为坐标原点，OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B(12，32)4 分设AOC(0，23)，则 C(cos，sin)，由OC xOA yOB，得cos x12y，sin 32 y，所以 xcos 33 sin，y2 33 sin，8 分所以 xycos 3sin 2sin(6)，10 分又 0，23，所以当 3时，xy 取得最大值 2.12 分1(2016江西玉
14、山一中期考)如图，在平行四边形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，若ACAM AB，则 的值为()A.14B.13C.12D1答案 C解析 在平行四边形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，AM AD DMAD 12AB，ACAM AB，AC(AD 12AB)ABAD(12)AB，ACAD AB，1，121，12.2已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若MN 3a，则点 N 的坐标为()A(2,0)B(3,6)C(6,2)D(2,0)答案 A解析 设 N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，x2，y0.3已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(ab)c，则 等
15、于()A.14B.12C1D2答案 B解析 ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，13 24，12，故选 B.4已知 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c 等于()A12a32bB.12a32bC32a12bD32a12b答案 B解析 设 cab，(1,2)(1,1)(1，1)，1，2，12，32，c12a32b.5(2016淮南一模)已知平行四边形 ABCD 中，AD(3,7)，AB(2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则CO 的坐标为()A(12，5)B(12，5)C(12，5)D(12，5)答案 D解析 ACABAD(2,3)(3,7)(1,10)，OC 12
16、AC(12，5)，CO(12，5)6在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD 2DB，CD rABsAC，则 rs 等于()A.23B.43C3D0答案 D解析 因为CD 2DB，所以CD 23CB23(ABAC)23AB23AC，则 rs2323 0，故选D.7在ABCD 中，AC 为一条对角线，AB(2,4)，AC(1,3)，则向量BD 的坐标为_答案(3，5)解析 ABBCAC，BCACAB(1，1)，BD AD ABBCAB(3，5)8设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则 tan _.答案 12解析 ab，sin 21cos20，2sin cos
17、 cos20，02，cos 0，2sin cos，tan 12.9在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 的中点若ACAEAF，其中，R，则 _.答案 43解析 选择AB，AD 作为平面向量的一组基底，则ACABAD，AE12ABAD，AFAB12AD，又ACAEAF(12)AB(12)AD，于是得121，121，解得23，23，所以 43.10.如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC mOA nOB，则 mn 的取值范围是_答案(1,0)解析 由题意得，OC kOD(k0)，又|k|OC|OD|
18、1，1k0.又B，A，D 三点共线，OD OA(1)OB，mOA nOB kOA k(1)OB，mk，nk(1)，mnk，从而 mn(1,0)11已知 A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；(2)若AC2AB，求点 C 的坐标解(1)由已知得AB(2，2)，AC(a1，b1)，A，B，C 三点共线，ABAC.2(b1)2(a1)0，即 ab2.(2)AC2AB，(a1，b1)2(2，2)a14，b14，解得a5，b3.点 C 的坐标为(5，3)12已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设ABa，BCb，CAc，且CM 3c，CN
19、2b.(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标解(1)由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.(3)设 O 为坐标原点，CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，MN(9，18)13.如图所示，G 是OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA、OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线(1)设PG PQ，将OG 用，OP，OQ 表示；(2)设OP xOA，OQ yOB，证明：1x1y是定值(1)解 OG OP PG OP PQOP(OQ OP)(1)OP OQ.(2)证明 一方面，由(1)，得OG(1)OP OQ(1)xOA yOB；另一方面，G 是OAB 的重心，OG 23OM 2312(OA OB)13OA 13OB.由得1x13，y13.1x1y3(1)33(定值)
