1、新课程标准 核心素养 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义数学抽象2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值数学运算3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题数据分析4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题数学建模5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法数据分析 知识点一：函数的最大(小)值的概念思考 1 如图，气温 关于时间 t 的函数记为 f(t)，观察这个函数的图象，说出函数的最大、最小值在函数图象的什么部位取得？函数的最大、最小值各是什么?曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最
2、小值，最小值为2.1最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M那么，称M是函数 y=f(x)的最大值2最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值思考2：若函数f(x)M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)M时，M才是函数的最大值，否则不是函数的最值与值域有怎样的关系？(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在(2)若函
3、数的最值存在，则最值一定是值域中的元素(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值题型一 例 1.已知函数 f(x)3x2，x1，2，x3，x（2，5.(1)在直角坐标系内画出 f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域xyo12341234-1-25(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为1，3.1函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_1、22已知函数 f(x)x2，1x1，1x，x1，求 f(x)的最大值、最小值2已知函数 f(x)x2，
4、1x1，1x，x1，求 f(x)的最大值、最小值xyo123123-1-2故f(x)的最大值为1，最小值为0题型二 例 2.已知函数 f(x)2x1x1.(1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值解(1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1x2，则 f(x1)f(x2)2x11x11 2x21x21=，因为1x10，x210，x1x20，所以 f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(1，)上为增函数x1x2(x1+1)(x2+1)(2)由(1)知 f(x)在2,4上单调递增，所以 f(x)的最小
5、值为 f(2)22121 53，最大值 f(4)24141 95.1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数 f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则 f(x)在区间a，b上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)(2)若函数 f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则 f(x)在区间a，c上的最大(小)值是 f(b)，最小(大)值是 f(a)与 f(c)中较小(大)的一个提醒：(1)求最值勿忘求定义域(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入
6、是最容易出现的错误，求解时一定注意1求函数 f(x)x4x在1,4上的最值解设 1x1x22，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数解设 1x1x22，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数解设 1x1x22，则 f(x1)f(
7、x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数解设 1x1x22，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数解设 1x1x22，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x
8、2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数解设 1x1x22，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数解设 1x1x22，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数解设 1x1x22
9、，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2x1x24x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2 x1x2x1x24x1x2.1x1x22，x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)，f(x)在1,2)上是减函数同理f(x)在2,4上是增函数当x2时，f(x)取得最小值4；当x1或x4时，f(x)取得最大值5.2.求函数在区间2，6上的最大值和最小值12 xy解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则f(x1)f(x2)=2x2-12x1-12(x2x1)(x1-1)(x2-1)由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是f(x1)f(x2)0,f(x1)
10、f(x2)所以，函数 y是区间2,6上的单调递减.2x-1x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.题型三 例3.已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值(1)R；(2)0,3；(3)1,1解析 f(x)3x212x53(x2)27，作出函数yf(x)的图象，如图所示xyo24245-7(1)当xR时，f(x)3(x2)277，当x2时，等号成立故当xR时，函数f(x)的最小值为7，无最大值(2)7,5(3)4,20例4.求函数f(x)x22x2在区间t，t1上的最小值g(t)xyo1212-1-2xyo1212-1-2xyo
11、1212-1-2t1t1ttt1t当t11，即t1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为g(t)f(t)t22t2.当t1t1，即0t1时，函数图象如图所示，最小值为g(t)f(1)1例5.已知函数f(x)x2ax1，求f(x)在0,1上的最大值解因为函数 f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为 xa2，解因为函数 f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为 xa2，当a212，即 a1 时，f(x)的最大值为 f(1)2a；当a212，即 a1 时，f(x)的最大值为 f(1)2a；当a212，即 a1 时，f(x)的最大值为 f(0)1.xyo1
12、212-1-2xyo1212-1-2逻辑推理抽象函数例 6.已知函数 f(x)的定义域是(0，)，f(xy)f(x)f(y)，对任意 x，y(0，)都成立当 x1 时，f(x)0.(1)求 f(1)；(2)求证：f(x)在定义域上是增函数；(3)如果 f(13)1，求满足不等式 f(x)f(x2)2 的 x 的取值范围解析(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0.(2)证明：令 y1x，得 f(1)f(x)f(1x)0，故 f(1x)f(x)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)f(x2)f(1x1)f(x2x1)(2)证明：令 y1x，得 f(1)f(x)
13、f(1x)0，故 f(1x)f(x)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)f(x2)f(1x1)f(x2x1)(2)证明：令 y1x，得 f(1)f(x)f(1x)0，故 f(1x)f(x)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)f(x2)f(1x1)f(x2x1)(2)证明：令 y1x，得 f(1)f(x)f(1x)0，故 f(1x)f(x)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)f(x2)f(1x1)f(x2x1)(2)证明：令 y1x，得 f(1)f(x)f(1x)0，故 f(1x)f(x)任取 x1，x2(0，)
14、，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)f(x2)f(1x1)f(x2x1)(2)证明：令 y1x，得 f(1)f(x)f(1x)0，故 f(1x)f(x)任取 x1，x2(0，)，且 x11，故 f(x2x1)0，从而 f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(3)由于 f(13)1，而 f(13)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 xy3，得 f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x 2)f(9)，f(x)f9(x2)，x94，(3)由于 f(13)1，而 f(13)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 x
15、y3，得 f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x 2)f(9)，f(x)f9(x2)，x94，(3)由于 f(13)1，而 f(13)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 xy3，得 f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x 2)f(9)，f(x)f9(x2)，x94，(3)由于 f(13)1，而 f(13)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 xy3，得 f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x 2)f(9)，f(x)f9(x2)，x94，(3)由于 f(13)1，而 f(
16、13)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 xy3，得 f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x 2)f(9)，f(x)f9(x2)，x94，(3)由于 f(13)1，而 f(13)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 xy3，得 f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x 2)f(9)，f(x)f9(x2)，x94，(3)由于 f(13)1，而 f(13)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 xy3，得 f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x 2)f
17、(9)，f(x)f9(x2)，x94，又 x0 x20，2x94，x 的取值范围是(2，941函数yx22x，x0，3的值域为()A0，3 B1，0C1，)D1，32设定义在 R 上的函数 f(x)x|x|，则 f(x)()A只有最大值B只有最小值C既有最大值，又有最小值D既无最大值，又无最小值xyo1212-1-23函数yax1在区间1，3上的最大值为4，则a_若a0，则函数yax1在区间1，3上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a14，解得a3，不满足a0，则函数yax1在区间1，3上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a14，解得a1.综上，a14函数 g(x)2x x1的值域为_设 x1t(t0)，则 x1t2，即 xt21，设 x1t(t0)，则 x1t2，即 xt21，14y2t2t22(t)2178，t0，当 t14时，y 最小值178，y2t2t22(t)2178，t0，当 t14时，y 最小值178，y2t2t22(t)2178，t0，当 t14时，y 最小值178，函数g(x)的值域为，+)178
