1、选修45不等式选讲命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，选修45是高考的必考点，主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等本节通过绝对值不等式的解法和不等式的证明考查考生对分类讨论思想和数形结合思想的应用，提升数学运算核心素养授课提示：对应学生用书第258页知识点一绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当（ab）（bc）0时，等号成立2绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a
2、0|x|ax|axax|xa或x0）型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc（3）|xa|xb|c，|xa|xb|c（c0）型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图像求解1函数y|x4|x6|的最小值为（）A2B4C6 D10解析：由|x4|x6|的几何意义可知|x4|x6|2答案：A2不等式|x1|x5|2的解集是_解析：当x1时，原不等式可化为1x（5x）2，所以42，不等式恒成立，所以x1；当1x5时，原不等式可化为x1（5x）2，所以x4，所以1x4；当x5时，原不等式可化为x1（x5）2，该不等式不成立综上，
3、原不等式的解集为x|x4答案：x|x0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2比较法（1）比差法的依据是：ab0ab步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号（2）比商法：若B0，欲证AB，只需证13综合法与分析法（1）综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义，公理或已证明的定理，性质等），从而得
4、出要证的命题成立1已知a，bR，且ab2，则的最小值为（）A1B2C4 D8解析：a，bR，且ab2，（ab）2224，2，即的最小值为2（当且仅当ab1时，等号成立）答案：B2已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_解析：2a3b3（2ab2a2b）2a（a2b2）b（a2b2）（a2b2）（2ab）（ab）（ab）（2ab）因为ab0所以ab0，ab0，2ab0，从而（ab）（ab）（2ab）0，故2a3b32ab2a2b答案：MN授课提示：对应学生用书第259页题型一绝对值不等式的解法例（2020高考全国卷）已知函数f（x）|3x1|2|x1|（1）画出yf（x
5、）的图像；（2）求不等式f（x）f（x1）的解集解析（1）由题设知f（x）画出yf（x）的图像如图（1）所示图（1）（2）函数yf（x）的图像向左平移1个单位长度后得到函数yf（x1）的图像，如图（2）所示图（2）易得yf（x）的图像与yf（x1）的图像的交点坐标为由图像可知，当且仅当x时，yf（x）的图像在yf（x1）的图像上方故不等式f（x）f（x1）的解集为绝对值不等式的常见三种解法（1）零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组），一般步骤如下：令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；将这
6、些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；这些解集的并集就是原不等式的解集（2）利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|c（c0）或|xa|xb|c（c0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观（3）数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解对点训练（2021衡水中学摸底）已知函数f（x）|2x1|2|x3|（1）求不等式f（x）7x的解集；（2）若关于x的方程f
7、（x）|m|存在实数解，求实数m的取值范围解析：（1）不等式f（x）7x，即|2x6|2x1|7x，可化为或或解得x1，即原不等式的解集为x|1（2）f（x）|2x6|2x1|（2x6）（2x1）|7，关于x的方程f（x）|m|存在实数解，即|m|7有解，解得m7或m7实数m的取值范围为m|m7或m7题型二不等式的证明不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有：（1）比较法证明不等式；（2）综合法证明不等式；（3）分析法证明不等式；（4）放缩法证明绝对值不等式考法（一）比较法证明不等式例1（2021西宁模拟）已知函数f（x）|2x1|x2|，集合Ax|f（x）3（1）求A；（2）若s，t
8、A，求证：解析（1）不等式f（x）3等价于|2x1|x2|3（*）设函数g（x）|2x1|x2|3，则g（x）其图像如图所示从图像可知，当且仅当x时，g（x）0所以不等式（*）的解集为所以A（2）证明：因为s，tA，由（1）知s，t，所以s21，t21因为1t2（1t2）（s21）0，所以，所以比较法证明不等式的方法与步骤（1）作差比较法：作差、变形、判号、下结论（2）作商比较法：作商、变形、判断、下结论提醒（1）当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法（2）当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法考法（二）综合分析法证明不等式例2（2021长沙长
9、郡中学调研）已知函数f（x）|x2|（1）解不等式f（x）4|x1|；（2）已知ab2（a0，b0），求证：f（x）解析（1）f（x）4|x1|，即|x2|x1|4，则得x所以原不等式的解集为（2）证明：f（x）|x2|，（ab）（54），所以f（x）综合法与分析法常常结合起来使用，称为综合分析法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程考法（三）放缩法证明不等式例3若a，bR，求证：证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以综上，原不等式成立“放”和“缩”的常用技巧
10、在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：（1）变换分式的分子和分母，如，上面不等式中kN，k1（2）利用函数的单调性（3）真分数性质“若0a0，则”提醒在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度题组突破1设n是正整数，求证：n（k1，2，n），得当k1时，；当k2时，；当kn时，所以1所以原不等式成立2（2021福州八中质检）已知函数f（x）|x1|（1）解不等式f（x）f（x4）8；（2）若|a|1，|b|a|f解析：（1）依题意，原不等式等价于|x1|x3|8当x1时，则2x28，解得x3不等式f（x）f（x4）8的解集为x|x3或x5（2）证明：要证f
11、（ab）|a|f，只需证|ab1|ba|，只需证（ab1）2（ba）2|a|1，|b|1，知a21，b20故（ab1）2（ba）2成立从而原不等式成立绝对值不等式应用中的核心素养直观想象、数学运算不等式成立问题的应用例（2021玉溪模拟）已知函数f（x）|x1|2x1|（1）解不等式f（x）x3；（2）若g（x）|3x2m|3x2|，对任意x1R，存在x2R，使得f（x1）g（x2）成立，求实数m的取值范围解析（1）原不等式等价于或或得x，故原不等式的解集为（2）由f（x）|x1|2x1|可知当x时，f（x）最小，无最大值，且f（x）minf设Ay|yf（x），By|yg（x），则A，因为g（
12、x）|3x2m|3x2|（3x2m）（3x2）|2m2|，所以By|y|2m2|由题意知AB，所以|2m2|，所以m故实数m的取值范围为处理绝对值不等式的成立问题，一是抓住等价转化思想，二是充分利用数形结合思想对点训练已知函数f（x）|x1|x2|（1）解不等式f（x）3；（2）若存在实数x，使f（x）m2m1成立，求实数m的取值范围解析：（1）当x2时，f（x）2x3，不等式f（x）3等价于解得x3；当1x2时，f（x）1，此时不等式f（x）3无解；当x1时，f（x）32x，不等式f（x）3等价于解得x0综上，不等式f（x）3的解集为（，03，）（2）法一：由（1）可知，f（x）作出函数f（x）的大致图像如图所示，由图可知f（x）min1因为存在实数x，使f（x）m2m1成立，所以1m2m1，即0m2m，解得m0或m1，所以实数m的取值范围是（，01，）法二：由于|x1|x2|（x1）（x2）|1，所以f（x）min1因为存在实数x，使f（x）m2m1成立，所以1m2m1，即0m2m，解得m0或m1，所以实数m的取值范围是（，01，）
