1、2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1若=（1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为2若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是3已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=4三阶行列式中，5的余子式的值是5已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为6直线l1：xy+2=0与直线l2：xy+3=0的夹角的大小是7已知点P为直线x+y4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是8若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是9若直线l1：a2x2y+4=0与直线l2：6x3y+a+4=0平行，则实
2、数a=10已知=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m=11垂直于直线3x4y7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为12设P、Q为ABC内的两点，且=+， =+，则ABP的面积与ABQ的面积之比为13已知O为ABC的外心，且|=6，|=2，则的值为14已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：0； 0；x的值有且只有一个； x的值有两个；点B是线段AC的中点则正确的命题是（写出所有正确命题的编号）二、选择题（每题3分，共12分）15平面向量，共线的充要条件是（）A，方向相同B，两向量中至少
3、有一个为零向量CR，D存在不全为零的实数1，2，16有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）17在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45的直线（）A不存在B有且只有一条C有多于一条的有限条D有无穷多条18设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则
4、a与b满足的关系式为（）A4a5b=3B5a4b=3C4a+5b=14D5a+4b=14三、解答题（共46分）19已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求的值20已知A（1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角；（2）已知实数m1，0，求直线AB的倾斜角的取值范围21如图所示，ABC中，已知顶点A（3，1），B的内角平分线方程是x4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y59=0求顶点B的坐标和直线BC的方程22已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=， =t（tR），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=， =，、的夹角
5、为120，且|=|=1，点P是以O为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，yR），求x+y的最大值23对于一个向量组，（n3，nN*），令=+，如果存在（pN*），使得|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，均是向量组，的“长向量”，试探究，的等量关系并加以证明2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共42分）1若=（1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为【考点】直线的倾斜角【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量，从而求出直线的倾斜角【解
6、答】解：=（1，）是直线l的一个法向量，可知直线l的一个方向向量为（，1），直线l的倾斜角为得，tan=故答案为：2若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是【考点】平面向量的坐标运算【分析】求出向量的模，然后写出的负向量的单位向量的坐标【解答】解： =（3，4），可得=5，则的负向量的单位向量的坐标是：故答案为：3已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义【分析】直接利用矩阵的乘法公式，即可得出结论【解答】解：矩阵A=，矩阵B=，AB=故答案为：4三阶行列式中，5的余子式的值是【考点】特征向量的意义【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值【解答】解：由题意，去
7、掉5所在行与列得： =12故答案为125已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为【考点】平面向量的坐标运算【分析】设出P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可【解答】解：设P（x，y），A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，可得（x1，y2）=2（2x，3y），解得x=，y=，P的坐标：故答案为：6直线l1：xy+2=0与直线l2：xy+3=0的夹角的大小是【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】方法一：求出直线的斜率，利用夹角公式即可得到答案方法二：分别求出直线的夹角，相减，即可得到两条直线的夹角大小（注意两条直角的夹角为（0，【解答】解法一：由直线l1：xy+2=
8、0，设斜率为k1，夹角为1那么：k1=tan1=直线l2：xy+3=0，设斜率为k2，夹角为2那么：k2=tan2=1设两直线的夹角为由tan=tan（12）=2故=解法二：解：由直线l1：xy+2=0，设夹角为1那么：tan1=故：1=直线l2：xy+3=0，设斜率为2，那么：故：2=所以：两条直线的夹角为：12=故答案为：7已知点P为直线x+y4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是【考点】点到直线的距离公式【分析】本题可以利用点到直线的距离公式求出原点为到直线的距离，得到本题结论【解答】解：原点O（0，0）到直线x+y4=0的距离为：，直线x+y4=0上一动点P到坐标原点的距离的最
9、小值为：故答案为：8若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是【考点】恒过定点的直线【分析】依题意可得（12x）b+x+3y=0，解方程即可求得答案【解答】解：a+2b=1，a=12b，（12b）x+3y+b=0，即（12x）b+x+3y=0，依题意知，解得：，故答案为：（，）9若直线l1：a2x2y+4=0与直线l2：6x3y+a+4=0平行，则实数a=【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】根据两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，从而求得实数a的值【解答】解：直线l1：a2x2y+4=0与直线l2：6x3y+a+4=0平行，a=2故答案
10、为：210已知=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据夹角相等列出方程解出m【解答】解： =（m+4，2m+2）. =m+4+2（2m+2）=5m+8， =4（m+4）+2（2m+2）=8m+20|=，|=2，与的夹角等于与的夹角，=，=，解得m=2故答案为：211垂直于直线3x4y7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为【考点】直线的截距式方程【分析】设要求的直线方程为：4x+3y+m=0，可得与坐标轴的交点，可得+=10，解出即可得出【解答】解：设要求的直线方程为：4x+3y+m=0，可得与坐标
11、轴的交点，+=10，解得m=10故答案为：4x+3y10=012设P、Q为ABC内的两点，且=+， =+，则ABP的面积与ABQ的面积之比为【考点】平面向量数量积的含义与物理意义【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，同理求出，两个式子比求出ABP的面积与ABQ的面积之比【解答】解：设 则由平行四边形法则知NPAB 所以同理故故答案为：13已知O为ABC的外心，且|=6，|=2，则的值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】可取AB的中点D，AC的中点E，并连接OD，OE，从而作出图形，根据条件得到ODAB，OEAC，而，带入进行数量积的运算，结合
12、图形从而求出该数量积的值【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：ODAB，OEAC；=218=16故答案为：1614已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：0； 0；x的值有且只有一个； x的值有两个；点B是线段AC的中点则正确的命题是（写出所有正确命题的编号）【考点】平面向量数量积的运算【分析】由于存在实数x满足关系式x2+2x+=，由于A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，可得x22x=1，解得x=1，得到，因此=0，正确；由即可判断是否正确；由x2+2x+=，变形为，利用共线定理可得x22x=1，解得x；由
13、即可判断是否正确；由可知：，可得点B是线段AC的中点【解答】解：因为存在实数x满足关系式x2+2x+=，A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，x22x=1，解得x=1，=0，正确；由可知：不正确；由x2+2x+=，变形为，A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，x22x=1，解得x=1，因此正确；由可知：不正确；由可知：，点B是线段AC的中点正确综上可知：只有正确故答案为：二、选择题（每题3分，共12分）15平面向量，共线的充要条件是（）A，方向相同B，两向量中至少有一个为零向量CR，D存在不全为零的实数1，2，【考点】向量的共线定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据向
14、量共线定理，即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数使得成立，即可得到答案【解答】解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数1，2，使得；若，则由两向量共线知，存在0，使得，即，符合题意，故选D16有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）【考点】三阶矩阵【分析】根据代数余子式的意
15、义，进行判断即可得出结论【解答】解：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等，不正确；（2）根据代数余子式的意义，可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和正确；（3）根据代数余子式与该行的元素值无关，可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，正确故选：C17在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45的直线（）A不存在B有且只有一条C有多于一条的有限条D有无穷多条【考点】直线的截距式方程【分析】利用截距式、斜率与截距的意义即可判断出结论【解答】解：在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45的直
16、线有且只有一条：y=x故选：B18设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A4a5b=3B5a4b=3C4a+5b=14D5a+4b=14【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果【解答】解：与在方向上的投影相同，4a+5=8+5b，4a5b=3故选：A三、解答题（共46分）19已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求的值【考点】逆矩阵的意义【分析】将原方程组写成
17、矩阵形式为Ax=b，其中A为22方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量 而当它的系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解由此求得值【解答】解：由线性方程组有无穷多组解，得：D=Dx=Dy=0由，得：=1或=2当=2时，Dx0，Dy0，不合题意当=1时，D=Dx=Dy=0，符合题意故：=120已知A（1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角；（2）已知实数m1，0，求直线AB的倾斜角的取值范围【考点】直线的斜率【分析】（1）通过m=1与m1，然后求解直线的斜率与直线的倾斜角；（2）结合（1）分别求解直线的斜率对应的倾斜角的范围即可【解答】解：（
18、1）当m=1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为；当m1时，若m1，则；若m1，则（2）当m=1时，直线AB的倾斜角为；当m1时，综合得直线AB的倾斜角的取值范围为21如图所示，ABC中，已知顶点A（3，1），B的内角平分线方程是x4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y59=0求顶点B的坐标和直线BC的方程【考点】两直线的夹角与到角问题；直线的斜率【分析】先设点B的坐标（a，b），根据B的内角平分线方程是x4y+10=0得到关于a，b的一个方程，再结合AB中点（）在过点C的中线上，即可求出点B的坐标，最后结合夹角公式求出直线BC的斜率即可求直线BC的方程【解答】解：设B（a，b），由过点B
19、的角平分线方程x4y+10=0得a4b+10=0，又AB中点（）在过点C的中线上，6（）+10=59，由可得a=10，b=5，B点坐标为（10，5）则直线AB的斜率KAB=又B的内角平分线的斜率k=所以得=解得KBC=直线BC的方程为y5=（x10）2x+9y65=0综上，所求点B的坐标为（10，5），直线BC的方程为 2x+9y65=022已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=， =t（tR），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=， =，、的夹角为120，且|=|=1，点P是以O为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，yR），求x+y的最大值【考点】平面向量的综
20、合题【分析】（1）利用向量共线定理，及已知向量建立等式，利用平面向量基本定理，即可得到结论；（2）建立坐标系，用三角函数确定x+y，再利用辅助角公式，即可得到结论【解答】解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设，（tR），=k=3，t=（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（，）设POD=（0），则P（cos，sin），由，得cos=xy，sin=，于是y=，x=cos+，于是x+y=cos+=2sin（+），故当=时，x+y的最大值为223对于一个向量组，（n3，nN*），令=+，如果存在（pN*），使得|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，均是向量组，的“长向量”，试探究，的等量关系并加以证明【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）根据长向量的定义即可得出，根据条件即可求出向量的坐标，从而建立关于x的不等式，解不等式便可得出x的取值范围；（2）容易得出，这三个式子相加并进行化简便可得出，从而得出【解答】解：（1）由题意，得：，且；解得：2x0；实数x的取值范围为2，0；（2）由题意，得：，即；即，同理，；三式相加并化简，得：；即，；2016年10月14日
