1、考纲链接第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的含义与表示 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题(2)集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 在具体情境中，了解全集与空集的含义(3)集合的基本运算 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算 2常用逻辑用语(1)理解命题的概念(2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命
2、题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义(5)理解全称量词和存在量词的意义(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定11 集合及其运算1集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为_，把一些元素组成的总体叫做_(2)集合中元素的三个特性：_，_，_.(3)集合常用的表示方法：_和_2常用数集的符号 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a _集合 A，记作_；如果 a 不是集合 A 中的元素，就
3、说 a_集合 A，记作_(2)集合与集合之间的关系：表示关系 文字语言符号语言相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同_AB子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素_或_真子集A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B中至少有一个元素不是 A 中的元素_或_空集空集是任何集合的子集，是任何_的真子集A，B(B)结论：集合a1，a2，an的子集有_个，非空子集有_个，非空真子集有_个4两个集合 A 与 B 之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为 U，则集合 A 的补集记为_Venn 图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)AB_A；AB_B；AA_；A_；AB
4、_BA.(2)AB_A;AB_B；AA_；A_；AB_BA.(3)U(UA)_；UU_；U_；A(UA)_；A(UA)_.(4)ABA_ABB；ABAB_.(5)记有限集合 A，B 的元素个数为 card(A)，card(B)，则：card(AB)_；cardU(AB)_.自查自纠1(1)元素 集合(2)确定性 互异性 无序性(3)列举法 描述法2N N*(N)Z Q R C3(1)属于 aA 不属于 aA(2)AB 且 BA AB BA A B BA非空集合 2n 2n1 2n24AB AB UA x|xA 或 xB x|xA 且 xB x|xU 且 xA5(1)A (2)A A(3)A U
5、 U(4)AB AB(5)card(A)card(B)card(AB)card(U)card(A)card(B)card(AB)1.(2019浙江)已知全集 U1，0，1，2，3，集合 A0，1，2，B1，0，1，则(UA)B()A.1B.0，1C.1，2，3D.1，0，1，3解：因为UA1，3，所以(UA)B1故选 A.2.(2019全国卷)设集合 Ax|x25x60，Bx|x10 x|x3，Bx|x10 x|x1，则 ABx|x1(，1)故选 A.3.设集合 Ax|x2x60，则满足 ABB 的集合 B 不可能为()A.0，1B.(0，3)C.(2，2)D.(3，1)解：因为 Ax|x2x
6、60 x|2x3，又 ABB，所以 BA，所以集合 B 不可能为(3，1)故选 D.4.(江苏泰州中学等三校 2020 届高三 11 月联考)集合 Ax|1x0，Bx|xa，若 ABB，则实数 a 的取值范围是_.解：由 ABB，知 AB，从数轴观察得 a0.故填0，)5.(甘肃省酒泉市敦煌中学 2019 届高三一诊)设集合 Ax|x2|2,By|yx2，1x2，则 AB_.解：求解绝对值不等式|x2|2 可得 Ax|0 x4，求解函数 yx2(1x2)的值域可得 By|4y0，因此 AB0故填0类型一 集合及相关概念(1)(2018全国卷)已知集合 A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则
7、A 中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4解法一：集合 A(1，1)，(1，0)，(1，1)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，共 9 个元素 解法二：A 表示由圆 x2y23 内部及边界上所有整数点构成的集合如图，则圆内部共有 9 个满足题意的点故选 A.(2)若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素，则实数 a()A.92B.98C.0D.0 或98解：若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23x20 只有一个实根或有两个相等实根 当 a0 时，x23，符合题意；当 a0 时，由(3)28a0，得 a98，所以 a 的取值为 0或98.故选
8、D.评析 题(1)要注意 x，y 的约束条件.题(2)集合 A 中只有一个元素，要分 a0 与 a0 两种情况进行讨论，此题易忽视 a0 的情形.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合.变式 1(1)(沈阳市 2019 届高三教学质量监测(三)已知集合 A(x，y)|xy2，xN，yN，则 A 中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个 解：由题得 A(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，所以 A 中元素的个数为 6.故选 C.(2)(福建省南安一中 20192020 学年高一上段考
9、)已知集合 A0，m，m23m2，且 2A，则实数 m 的值为()A.3B.2C.0 或 3D.0 或 2 或 3解：由题意，知 2A，可得 当 m2 时，m23m20，不满足集合元素的互异性，舍去；当 m23m22，解得 m3 或 m0.当 m0 时，不满足元素的互异性，舍去；当 m3 时，此时集合 A0，2，3，符合题意 故选 A.类型二 集合间的关系例 2(2018长春市高一联考)已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1.(1)若 BA，求实数 m 的取值范围；(2)若 AB，求实数 m 的取值范围.解：(1)当 B时，如图所示 所以m12，2m15，2m1m1或m12，2m15，2m
10、1m1，解这两个不等式组，得 2m3.当 B时，m12m1，得 m2.综上可得，m 的取值范围是(，3(2)当 AB 时，如图所示，此时 B.所以2m1m1，m12，2m15，即m2，m3，m3，所以 m 不存在 即不存在实数 m 使 AB.评析 已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集.一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到.变式 2(1)(2019湖北联考二)已知集
11、合 AxZ|x2x20，By|yx2，xA，则集合 B 的子集的个数为()A.7B.8C.15D.16 解：由题意得集合 A1，0，1，2，则集合 B0，1，4，所以集合 B 的子集的个数为 238.故选 B.(2)已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是()A.(，2 B.(2，4 C.2，4 D.(，4解：当 B时，有 m12m1，则 m2；当 B时，若 BA，如图所示，则m12，2m17，m12m1，解得 2m4.综上，有 m4.故选 D.类型三 集合的运算例 3(1)(烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习(二)设集合 Ax|yx3，By|y2
12、x，x3，则集合(RA)B()A.x|x3 B.x|x3 C.x|0 x3 D.x|0 x3解：因为 Ax|y x3x|x3，所以RAx|x3，又 B y|y 2x，x 3 y|0y8，所 以(RA)B x|0 x3故选 C.(2)集合 PxR|x1|1，QxR|xa|1，且 PQ，则实数 a 的取值范围为()A.a|a3 B.a|a1 C.a|a1 或 a3 D.a|1a3 解：Px|0 x2，Qx|a1xa1，要使 PQ，则 a10 或 a12，解得 a1 或 a3.故选 C.评析 集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(
13、Venn)图等进行运算.注意延伸知识的考查，如例 3(1)，考查了集合的交集运算、补集运算，但正确求出函数 y x3的定义域，函数 y2x(x3)的值域才是解题的关键.变式 3(1)(2019天津)设集合 A1，1，2，3，5，B2，3，4，CxR|1x3，则(AC)B()A.2B.2，3C.1，2，3D.1，2，3，4 解：因为 AC1，2，所以(AC)B1，2，3，4故选 D.(2)(深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试)已知集合 Ax|y（1x）（x3），Bx|log2x1，则 AB()A.x|3x1B.x|0 x1 C.x|3x2D.x|x2解：由二次根式有意义的条件，可得(1x
14、)(x3)0，解得3x1，所以 Ax|y（1x）（x3）x|3x1 log2x1，即 log2xlog22，解得 0 x2，所以 Bx|log2x1x|0 x2，所以 ABx|0 x1故选 B.类型四 韦恩(Venn)图例 4(2019 兰州高三月考)设全集 UR，Ax|x2x20，Bx|yln(1x)，则图中阴影部分所表示的集合为()A.x|x1B.x|1x2 C.x|0 x1D.x|x1解：由韦恩图知阴影部分表示的是 A(UB)因为 Ax|x2x20 x|1x2，Bx|yln(1x)x|x1，所以UBx|x1，所以 A(UB)x|1x2 所以阴影部分对应的集合是x|1x2故选 B.评析 韦
15、恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算.变式 4(原创改编)“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指大学中庸论语孟子.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查 200 位学生，其中阅读过大学的有 60 位，阅读过论语的有 160 位，阅读过大学或论语的有180 位，阅读过大学且阅读过论语及中庸的有 20 位.则该校阅读过大学及论语但未阅读过中庸的学生人数与该校学生总数比值的估计值是()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4解：如图，阅读过大学且阅读过论语的人数是 1606
16、018040，402020，故由样本估计总体，可得所求为 202000.1.故选 A.1首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合x|yf(x)，y|yf(x)，(x，y)|yf(x)三者是不同的2集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错3数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解这在本质上是数形结合思想的体现和运用4空集是不含任何元素的
17、集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能另外，不可忽视空集是任何元素的子集5五个关系式 AB，ABA，ABB，UBUA 以及 A(UB)是两两等价的对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单6正难则反原则 对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题例如：已知 Ax|x2xa0，Bx|x2x2a10，Cx|ax4a9，且 A，B，C 中至少有一个不是空集，求 a 的取值范围这个问题的反面即是三个集合全为空集，即14a0，14（2a1）0，a4a9，解得58a3，从而所求 a 的取值范围为a|a58或a3.
