1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 学 习 任 务1掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点)2会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题(难点)3分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点)4能用向量方法证明两角差的余弦公式(重点)核 心 素 养 1通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养 2借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养 情境导学探新知 NO.1“不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希
2、望”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究 问题：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a(3,2)，b(2,1)，则ab的值为多少？ab的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab为多少？知识点 平面向量数量积的坐标表示 1平面向量数量积的坐标表示条件向量a(x1，y1)，b(x2，y2)坐标表示 ab_ 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的_ 乘积的和
3、x1x2y1y22平面向量数量积的坐标表示的结论 条件结论 a(x，y)|a|表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)|a|_ 向量a(x1，y1)，b(x2，y2)ab_ a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22x2y2x2x12y2y12x1x2y1y20已知向量a(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示 设与a共线的单位向量为a0，则a0 1|a|ax|a|，y|a|xx2y2，yx2y2，其中正号、负号分别表示与
4、a同向和反向 易知b(y，x)和a(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为yx2y2，xx2y2，其中正、负号表示不同的方向 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)abx1x2y1y20()(2)ab0a与b的夹角为钝角()(3)若ab0，则a与b不垂直()(4)|AB|表示A，B两点之间的距离()答案(1)(2)(3)(4)2已知a(2，1)，b(2,3)，则ab_，|ab|_ 1 2 5 ab22(1)31，ab(4,2)，|ab|42222 5 3已知向量a(1,3)，b(2，m)，若ab，则m_ 23 因为ab，所以ab1(2)3m
5、0，解得m23 4已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为_ 6365 因为ab3541263，|a|32425，|b|5212213，所以a与b夹角的余弦值为 ab|a|b|635136365 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 平面向量数量积的坐标运算【例1】(1)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF 2，则AEBF的值是_(2)已知a与b同向，b(1,2)，ab10 求a的坐标；若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c(1)2 以A为坐标原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(2，
6、0)，D(0,2)，C(2，2)，E(2，1)可设F(x,2)，因为 AB AF(2，0)(x,2)2 x2，所以x1，所以AEBF(2，1)(1 2，2)2(2)解 设ab(，2)(0)，则有ab410，2，a(2,4)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求
7、解 跟进训练 1在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB(1，2)，AD(2,1)，则AD AC()A5 B4 C3 D2 A 由AC AB AD(1，2)(2,1)(3，1)，得AD AC(2,1)(3，1)5 类型2 向量模的坐标表示【例2】(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A4 B5 C3 5 D4 5(2)若向量a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标(1)D 由ab得y40，y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4 5故选D(2)解 aAB(2,
8、1)(2,4)(4，3)，|a|42325 与a平行的单位向量是 a|a|15(4，3)，即坐标为45，35 或45，35 设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，mn34 又|e|1，m2n21 解得m35，n45或m35，n45，e35，45 或e35，45 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算 利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算 若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2 跟进训练 2已知平面向量a(3,5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|解(1)a2
9、b(3,5)2(2,1)(7,3)，|a2b|7232 58(2)ab(3,5)(2,1)3(2)511，ca(ab)b(3,5)(2,1)(1,6)，|c|162 37 类型3 向量的夹角与垂直问题【例3】(1)已知向量a(2,1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A(2，)B2，12 12，C(，2)D(2,2)(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标 设a，b都是非零向量，ax1，y1，bx2，y2，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？提示 (1)B 当a与b共线时，2k10，k 12，
10、此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有ab0且a，b不同向由ab2k0得k2，且k12，即实数k的取值范围是2，12 12，选B(2)解 设点D的坐标为(x，y)，则 AD(x2，y1)，BC(6，3)，BD(x3，y2)点D在直线BC上，即BD 与BC共线，存在实数，使BD BC，即(x3，y2)(6，3)，x36，y23，x32(y2)，即x2y10 又ADBC，AD BC0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30 由可得x1，y1，即D点坐标为(1,1)，AD(1,2)，|AD|1222 5，综上，|AD|5，D(1,1)1将本例(1)
11、中的条件“a(2,1)”改为“a(2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围 解 当a与b共线时，2k10，k12，此时a与b方向相反，夹角为180，所以要使a与b的夹角为钝角，则有ab0，且a与b不反向由ab2k0得k2由a与b不反向得k12，所以k的取值范围是，12 12，2 2将本例(1)中的条件“锐角”改为“4”，求k的值 解 cos4 ab|a|b|2k51k2，即 22 2k51k2，整理得3k28k30，解得k13或3 1利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|x2y2计算两向量的模(3
12、)求夹角余弦值由公式cos x1x2y1y2x21y21x22y22求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值 2涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20来解决 跟进训练 3已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度 解(1)A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，AB(1,1)，AD(3,3)，则ABAD 1(3)130，ABAD，即ABAD(2)ABAD，四边形ABCD为矩形，ABDC 设点C的坐标为(x，y)，则DC(x1，y4)，从而有x11，y4
13、1，即x0，y5，点C的坐标为(0,5)AC(2,4)，|AC|22422 5，故点C的坐标为(0,5)，矩形ABCD的对角线的长度为2 5 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1已知向量a(2,0)，ab(3,1)，则下列结论正确的是()Aab2 Bab Cb(ab)D|a|b|C 因为向量a(2,0)，ab(3,1)，设b(x，y)，则2x3，0y1，解得x1，y1，所以b(1，1)，ab(1，1)，b(ab)11(1)(1)0，所以b(ab)1 2 3 4 5 2已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A6 B4 C3 D2 B ab31(1)(2)5，|a|3212
14、 10，|b|1222 5，设a与b的夹角为，则cos ab|a|b|510 5 22又0，4 1 2 3 4 5 3设a(2,4)，b(1,1)，若b(amb)，则实数m_ 3 amb(2m,4m)，b(amb)，(2m)1(4m)10，得m3 1 2 3 4 5 4设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_ 2 法一：ab(m1,3)，又|ab|2|a|2|b|2，(m1)232m215，解得m2 法二：由|ab|2|a|2|b|2，得ab0，即m20，解得m2 1 2 3 4 5 5已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR(1)若ab，则x_；(2)若
15、ab，则|ab|_(1)1或3(2)2或2 5(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3 1 2 3 4 5(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2 当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2 当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|4162 5 综上，|ab|2或2 5 回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，如何求aa，|a|以及向量a与b的夹角的余弦值cos？(2)若ab，则a(x1，y1)，b(x2，y2)应满足什么条
16、件？数学阅读拓视野 NO.4向量的数量积与三角形的面积 在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图1所示，你能用A，B的坐标表示出OAB的面积吗？图1一般地，利用向量的数量积可以方便地求出OAB的面积为 S12|x1y2x2y1|事实上，如图2所示，记t|OA|，a1t(y1，x1)，则容易验证，a是与OA 垂直的单位向量图2过B作OA的垂线BC因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知|BC|aOB|，因此，OAB的面积为 S12|AO|BC|12|AO|aOB|12t1ty1，x1x2，y2 12|(y1，x1)(x2，y2)|12|x1y2x2y1|由此也可以看出，如图3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为 图3S|x1y2x2y1|由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
