1、9.4 向 量 应 用基础认知自主学习【概念认知】1用向量方法解决平面几何问题建立平面几何与向量的联系，用_表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如_、_等问题；把运算结果“翻译”成_向量向量问题距离夹角几何关系2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有 _等(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的_和_中(3)动量mv是向量的_运算(4)功是_与_的数量积力、速度、位移合成分解数乘力F位移s1已知两个力 F1，F2 的夹角为 90，它们的合力大小为 10 N，合力与 F1 的夹角为60，那么 F1 的大小为()A5 3 N B5 NC1
2、0 N D5 2 N【解析】选 B.如图可知|F1|F|cos 605(N).2已知 A，B，C，D 四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为()A梯形 B菱形 C矩形 D正方形【解析】选 A.由题意得AB(3，3)，DC(2，2)，所以AB DC，|AB|DC|，所以四边形为梯形3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC 2AD，则顶点 D 的坐标为()A2，72B2，12C(3，2)D(1，3)【解析】选 A.设 D(x，y)，则BC(4，3)，AD(x，y2)，由BC 2AD 得42x32（y2），所以x2y7
3、2所以顶点 D 的坐标为2，72.4某人从点 O 向正东走 30 m 到达点 A，再向正北走 30 3 m 到达点 B，则此人的位移的大小是_m，方向是北偏东_【解析】如图所示，此人的位移是OB OA AB，且OA AB，则|OB|OA|2|AB|2 60(m)，tan BOA|AB|OA|3，所以BOA60.所以OB 方向为北偏东 30.答案：60 305如图，正方形 ABCD 的边长为 a，E，F 分别为 AB，BC 的中点，AF 与 DE 交于点 M.求EMF.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，因为正方形 ABCD 的边长为 a，所以 A(0，0)，D(0，a)，Ea2，0，Fa，a
4、2，AF a，a2，DE a2，a，因为AF DE a22 a22 0，所以AF DE，即 AFDE.所以EMF90.学情诊断课时测评一、单选题1在四边形 ABCD 中，若AC(1，2)，BD(4，2)，则该四边形的面积为()A 5 B2 5 C5 D10【解析】选 C.因为AC BD 0，所以 ACBD.所以四边形 ABCD 的面积 S12|AC|BD|12 5 2 5 5.2一条河的宽度为 d，水流的速度为 v2，一船从岸边 A 处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的 B 处，船在静水中的速度是 v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为()A|v1|B|v1|2|v2|2C|v1|2|v
5、2|2D|v1|v2|【解析】选 C.画出船过河的简图(图略)可知，实际速度是 v1 与 v2 的和，由勾股定理知选 C.3若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足|OB OC|OB OC 2OA|，则 ABC 的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形【解析】选 B.因为|OB OC|CB|AB AC|，|OB OC 2OA|AB AC|，所以|AB AC|AB AC|，则AB AC 0，所以BAC90，即 ABC 是直角三角形4若 O 是 ABC 内一点，OA OB OC 0，则 O 为 ABC 的()A内心 B外心 C垂心 D重心【解析】选 D.如图，取 AB 的
6、中点 E，连接 OE，则OA OB 2OE.又OA OB OC 0，所以OC 2OE.又 O 为公共点，所以 O，C，E 三点共线，且|OC|2|OE|.所以 O 为 ABC 的重心5用两条成 60的绳索拉船，每条绳的拉力大小是 12 N，则合力的大小约为(精确到0.1 N)()A20.6 N B18.8 NC20.8 N D36.8 N【解析】选 C.设两条绳索的拉力 F1，F2 的合力为 F 合如图所示，则|AB|AD|12，F 合AC，连接 BD 交 AC 于 M，BAM30，所以|F 合|2|AM|212cos 3012 3 20.8(N).二、填空题6在平面直角坐标系中，力 F(2，
7、3)作用一物体，使物体从点 A(2，0)移动到点B(4，0)，则力 F 对物体做的功为_【解析】根据题意，力 F 对物体做的功为 WFAB(2，3)(42，00)22304.答案：47正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos DOE_【解析】以 OA，OC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知：OD 1，12，OE 12，1，故 cos DOE OD OE|OD|OE|11212152 5245.答案：458河水的流速为 5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以 12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为_m/s.【解析】设小船在静水中
8、的速度为 v1，河水的流速为 v2，v1 与 v2 的合速度为 v.因为为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度 v1 斜向上游方向，河水速度 v2 平行于河岸，合速度 v 指向对岸，所以静水速度|v1|v|2|v2|212252 13(m/s).答案：139如图所示，两根绳子把质量为 1 kg 的物体吊在水平杆 AB 上(绳子的质量忽略不计，g10 m/s2)，绳子在 A，B 处与铅垂方向的夹角分别为 30，60，则绳子 AC 和 BC的拉力大小分别为_，_【解析】设绳子 AC 和 BC 的拉力分别为 f1，f2，物体的重力用 f 表示，则|f|10 N，f1f2f，如
9、图，以 C 为起点，CE f1，CF f2，CG f，则ECG30，FCG60，所以|CE|CG|cos 3010 325 3，|CF|CG|cos 601012 5，所以绳子 AC 的拉力大小为 5 3 N，绳子 BC 的拉力大小为 5 N.答案：5 3 N 5 N三、解答题10已知在 Rt ABC 中，C90，设 ACm，BCn.若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD12 AB.【证明】以 C 为坐标原点，边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意得，A(0，m)，B(n，0)，则AB(n，m)，因为 D 为 AB 的中点，所以 Dn2，m2，C
10、D n2，m2.所以|CD|12n2m2，|AB|m2n2，所以|CD|12|AB|，即 CD12 AB.11如图，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【解析】如图，由已知条件可知 AG 与铅垂方向成 45角，BG 与铅垂方向成 60角设 A 处所受力为 Fa，B 处所受力为 Fb，物体的重力为 G，因为EGC60，EGD45，则有|Fa|cos 45|Fb|cos 60|G|100，且|Fa|sin 45|Fb|sin 60，由解得|Fa|150 2 50
11、 6，所以 A 处所受力的大小为(150 2 50 6)N.一、选择题1坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v(1，2)从点 A(4，6)处移动到点 B(7，12)处，其所用时间为()A2 B3 C4 D8【解析】选 B.因为|v|1222 5，|AB|（74）2（126）2 45，所以时间 t 455 3.2已知 ABC 满足 AB2AB AC BA BC CA CB，则 ABC 是()A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形【解析】选 C.由题意得，AB2AB AC AB CB CA CB AB(AC CB)CA CB AB2CA CB，所以CA CB 0，所以CA CB，即 CACB
12、，所以 ABC 是直角三角形3在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，点 C 在第一象限内，AOC6，且 OC2.若OC OA OB，则 的值是()A 2 B 2 1C 3 D 3 1【解析】选 D.由题意，知OA(1，0)，OB(0，1).设 C(x，y)，则OC(x，y).因为OC OA OB，所以(x，y)(1，0)(0，1)(，).所以x，y.又因为AOC6，OC2，所以 x2cos 6 3，y2sin 6 1，所以 3 1.4已知点 O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若 OAB 为直角三角形，则 a 与 b 的关系有可能是()Aba Bba31aCb
13、a31aDba31【解析】选 B.由题意，知OA(0，b)，OB(a，a3)，AB(a，a3b).因为 OAB为直角三角形，所以若OA OB，则OA OB 0，即 a3b0，当 b0 时，点 O与点 A 重合；当 a0 时，点 O 与点 B 重合，故 a3b0，即 OA 与 OB 不垂直若OA AB，则OA AB 0，即 b(a3b)0，又 b0，故 ba3.若OB AB，则OB AB 0，即 a2a3(a3b)0，又 a0，故 a31a b0，即 ba31a.故当 OAB 为直角三角形时，有 ba3 或 ba31a.只有 B 符合题意二、填空题5如图，在 ABC 中，O 为 BC 中点，若
14、AB1，AC3，BAC60，则|OA|_【解析】根据题意，O 为 BC 的中点，所以AO 12(AB AC)，|OA|214(AB22AB AC AC2)14(12213cos 6032)134，所以|OA|132.答案：1326已知 i，j，k 为共面的三个单位向量，且 ij，则(ik)(jk)的取值范围为_【解析】由 ij 得 ij0，又 i，j 为单位向量，则|ij|i2j22ij 2，则(ik)(jk)ij(ij)kk2(ij)k1|ij|cos ij，k12 cos ij，k1，由1cos ij，k1，得(ik)(jk)的取值范围是1 2，1 2.答案：1 2，1 2 7如图所示，在
15、倾斜角为 37(sin 370.6)，高为 2 m 的斜面上，质量为 5 kg 的物体m 沿斜面下滑至底部，物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍，则斜面对物体 m 的支持力所做的功为_J，重力所做的功为_J(g9.8 m/s2).【解析】物体 m 的位移大小为|s|2sin 37 103(m)，则支持力对物体 m 所做的功为W1Fs|F|s|cos 900(J)；重力对物体 m 所做的功为 W2Gs|G|s|sin 3759.8103 0.698(J).答案：0 988如图所示，已知 O 为坐标原点，点 A(3，0)，B(4，4)，C(2，1)，则 AC 和 OB 的交点 P 的
16、坐标为_【解析】设OP tOB t(4，4)(4t，4t)，则AP OP OA(4t3，4t)，AC(2，1)(3，0)(1，1).由AP，AC 共线，得(4t3)14t(1)0，解得 t38.所以OP(4t，4t)32，32，所以点 P 的坐标为32，32.答案：32，32三、解答题9一架飞机从 A 地向北偏西 60方向飞行 1 000 km 到达 B 地，因大雾无法降落，故转向 C 地飞行，若 C 地在 A 地的南偏西 60方向，并且 A，C 两地相距2 000 km，求飞机从 B 地到 C 地的位移【解析】方法一：由题意得|AB|1 000 km，|AC|2 000 km，BAC60，所
17、以|BC|2|AC AB|2|AC|2|AB|22|AC|AB|cos 602 00021 000222 0001 00012 3106，所以|BC|1 000 3 km，所以|AB|2|BC|2|AC|2，所以ABC90.取 AC 的中点 D，由|AC|2|AB|且BAD60，知BD 的方向为正南方向，有ABD60，于是DBC30.所以飞机从 B 地到 C 地的位移的大小为 1 000 3 km，方向为南偏西 30.方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，并取 a500，则AB(2a cos 150，2a sin 150)(3 a，a)，AC(4a cos 210，4a sin 210)(2
18、3 a，2a)，所以BC(3 a，3a)，|BC|2 3 a，即|BC|1 000 3(km).又 cos ACB AC BC|AC|BC|6a26a24a2 3a 32，所以ACB30.结合图形可知BC 的方向为南偏西 30，所以飞机从 B 地到 C 地的位移的大小为1 000 3 km，方向为南偏西 30.10求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设 A(2a，0)，B(0，2a)，则 D(a，0)，C(0，a)，所以AC(2a，a)，BD(a，2a)，不妨设AC，BD 的夹角为，则 cos AC BD|AC|BD|（2a，a）（a，2a）5a 5a4a25a245.故所求钝角的余弦值为45.
