1、课时作业16 双曲线简单几何性质的应用时间：45 分钟基础巩固类一、选择题1直线 yk(x 2)与双曲线x24y21 有且只有一个公共点，则 k 的不同取值有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个D解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为 y12x，顶点(2，0)，而直线恒过(2，0)，故有两条与渐近线平行，有两条切线，共 4 条直线与双曲线有一个交点，故选 D.2若 ab0，则 axyb0 和 bx2ay2ab 所表示的曲线只可能是下图中的()C解析：原方程分别可化为 yaxb 和x2ay2b1.从 B、D 中的两椭圆看，a0，b0，但由 B 中的直线可得 a0，b0，矛盾，应排除；从 D
2、 中的直线可得 a0，矛盾，应排除由 A中的双曲线可得 a0，但由直线可得 a0，b0，矛盾，应排除由 C 中的双曲线可得 a0，b0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，设 P 是双曲线 C 上一点，则POF 的大小不可能是()A15 B25C60 D165C解析：两条渐近线 y 33 x 的倾斜角分别为 30，150，0POF30或 1500，b0)与直线 y2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1，5)B(1，5)(5，)C(5，)D 5，)C解析：双曲线的一、三象限渐近线的斜率 kba，要使双曲线x2a2y2b21 和直线 y2x 有交点，只要满足ba2 即可，c2a2a2，e
3、212，e 5.7已知双曲线x29y2161，过其右焦点 F 的直线交双曲线于P，Q 两点，PQ 的垂直平分线交 x 轴于点 M，则|MF|PQ|的值为()A.53 B.56 C.54 D.58B解析：依题意，令直线 PQ 斜率为 0，此时直线 PQ 即为 x轴，于是有点 P(3,0)，Q(3,0)，M(0,0)，F(5,0)，|MF|PQ|56.8设 A1，A2 分别为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左，右顶点，若双曲线上存在点 M 使得两直线斜率 kMA1kMA22，则双曲线 C 的离心率的取值范围为()A(1，2)B(1，3)C(3，)D(1,2)B解析：设 M(x，y)，
4、由题意得 A1(a,0)，A2(a,0)，则 kMA1 yxa，kMA2 yxa，则 kMA1kMA2y2x2a2，又因为点 M 在双曲线上，所以x2a2y2b21y2b2x2a21，代入 kMA1kMA2y2x2a2中可得b2x2a2b2a2x2a2b2a22c2a2a2e2121e0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22m，y1y2x1x22m4m，所以线段 AB 的中点坐标为(m,2m)又点(m,2m)在圆 x2y25 上，所以 m2(2m)25，得 m1.三、解答题12双曲线的两条渐近线的方程为 y 2x，且经过点(3，2 3)(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右
5、焦点 F 且倾斜角为 60的直线交双曲线于 A、B 两点，求|AB|.解：(1)双曲线的两条渐近线方程为 y 2x，可设双曲线的方程为 2x2y2(0)又双曲线经过点(3，2 3)，代入方程可得 6，所求双曲线的方程为x23y261.(2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，过 F 且倾斜角为 60的直线方程为 y 3(x3)，联立y 3x32x2y26，得 x218x330，由韦达定理得 x1x218，x1x233，|AB|1k2|x1x2|13 x1x224x1x22 32413216 3，即弦长|AB|16 3.13过双曲线 M：x2y2b21 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l
6、，若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C，且|AB|BC|，求双曲线 M 的离心率解：由双曲线 M 为 x2y2b21，得左顶点 A 的坐标为(1,0)，两条渐近线为 ybx.又直线 l 的斜率为 1，l 的方程为 yx1.从而可求得直线 l：yx1 与渐近线 ybx 的交点为C(1b1，bb1)，AC 的中点为(2b2b1，b2b1)，且在渐近线 ybx 上，则b2b1b 2b2b1，得 b3，c 1232 10，eca 10.双曲线的离心率为 10.能力提升类14已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，右焦点为 F，若过点 M(1,0)且斜率为 1
7、的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，且FAFB4，则此双曲线的方程为.x23y261解析：由 eca 3，得 c23a2，又 c2a2b2，则 b22a2.直线 l 的方程为 yx1，将其代入x2a2y2b21 得 x22x12a20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x22，x1x212a2，y1y2x1x2(x1x2)12a22.又 F(3a,0)，则FA(x1 3a，y1)，FB(x2 3a，y2)，得FAFBx1x2 3a(x1x2)3a2y1y24，则 a22 3a30，从而 a 3，则 a23，b26，故所求的双曲线的方程为x23y261.15已知双曲线
8、C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点为 F1(2,0)，F2(2,0)，点 P(3，7)在双曲线 C 上(1)求双曲线 C 的方程；(2)记 O 为坐标原点，过点 Q(0,2)的直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 E，F，若OEF 的面积为 2 2，求直线 l 的方程解：(1)依题意，得 a2b24，则双曲线的方程为x2a2 y24a21(0a20，k1 3k 3 .(*)设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，则 x1x2 4k1k2，x1x261k2，|EF|1k2 x1x224x1x2 1k22 2 3k2|1k2|，而原点 O 到直线 l 的距离 d21k2，SOEF12d|EF|1221k2 1k22 2 3k2|1k2|2 2 3k2|1k2|.又 SOEF2 2，即 3k2|1k2|1，k4k220，解得 k 2，满足(*)故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y 2x2 和 y 2x2.
