1、第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程学习目标素养要求1了解双曲线的定义及其几何图形数学抽象2掌握双曲线的标准方程及引入b2c2a2的意义数学抽象3会利用双曲线的定义和标准方程去解决简单的问题逻辑推理、数学运算|自 学 导 引|双曲线的定义1平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于_(小于_且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的_2定义的集合表示：M|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|常数|F1F2|焦距已知M(3,0)，N(3,0)，|PM|PN|6，则动点P的轨迹是()A一条射线B双曲线右支C双曲线D
2、双曲线左支【答案】A【解析】因为|PM|PN|6|MN|，故动点P的轨迹是一条射线，其方程为y0，x3故选A【预习自测】把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或常数为0，结果如何？【答案】提示：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；(2)若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；(3)若常数为0，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线微思考 双曲线的标准方程项目焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_焦点坐标_a，b，c关系c2a2b2(
3、c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)【答案】(1)(2)【解析】(1)当ab时，方程也表示双曲线，故该说法错误(2)在双曲线中规定b2c2a2，而a与b的大小关系不确定，故该说法错误【预习自测】【答案】17【解析】设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由题意得|MF1|MF2|2816，所以|MF1|1|2816，则|MF1|17或15(舍去)所以点M到另一个焦点的距离为17|课 堂 互 动|待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0
4、)；解：因为P是双曲线左支上的点，所以|F1F2|10，|PF2|PF1|6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，【例题迁移1】(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离【例题迁移2】(变换条件)若把本例条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”，其他条件不变，试求F1PF2的面积提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件|PF1|PF2|2a的 变 形 使 用，二 是 特 别 注 意|PF1|2|PF2|2与|PF1|PF2|的关系3已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左
5、、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2B4C6D8【答案】B题型3 与双曲线有关的轨迹问题在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，点C运动时内角满足2sin Asin C2sin B，求顶点C的轨迹方程定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间的距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上错解分析：出错的根本原因是忽略了双曲线中的一个隐含条件双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于ca，从而两解中要舍掉一个防范措施：关注隐含条件的应用在求解双曲线上的点
6、到焦点的距离时，一定要注意隐含的条件，实际上就是定义中的点需要满足的条件如本例中|PF2|2|素 养 达 成|1对双曲线定义的两点说明(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设F1，F2表示双曲线的左、右焦点若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a2对双曲线标准方程的三点说明(1)系数：标准方程中两个参数a和b，是双曲线的定形条件，确定了其值，方程也即确定，并且有b2c2a2，与椭圆中b2a2c2不
7、同(2)焦点：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上(3)形式：双曲线的标准方程可统一表示为mx2ny21(mn0)1(题型1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|MF2|2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据双曲线的定义，乙甲，但甲/乙，只有当2a|F1F2|且a0时，其轨迹才是双曲线【答案】D3(题型1)在方程mx2my2n中，若mn0，则方程的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线【答案】D【答案】A5(题型3)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，求点P的轨迹方程解：如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1，
