1、第七章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法不正确的是()A.某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B.正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C.公式E(X)=np可以用来计算所有离散型随机变量的均值D.从一副扑克牌中随机抽取5张,其中梅花的张数服从超几何分布2.若X的分布列为X01P15a则E(X)=()A.45B.12C.25D.153.如果随机变量XN(4,1),则P(X2)=()(注:P(-2X+2)0.954 5)A.0.210B.0.022 75C.0.045 6D.0.021 54.下列随
2、机变量X中,不服从超几何分布的是()A.在含有4件次品的15件产品中,任取3件,其中正品数和次品数的差为XB.在6个黑球和3个白球中,任取4个球,其中黑球的个数为XC.在20个乒乓球中,有12个正品和8个次品,从中任取4个,其中次品的个数为XD.从24名男生和16名女生中,任选10名学生,其中女生的人数为X5.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是()A.35B.25C.110D.596.设随机变量XB(2,p),随机变量YB(3,p),若P(X1)=59,则D(3Y+1)=()A.2B.3C.6D.77.投篮
3、测试中,每人投5次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.8,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学未通过测试的概率为()A.0.006 72B.0.000 96C.0.000 64D.0.000 328.9粒种子分种在3个坑内,每个坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用随机变量X表示补种费用,则X的均值等于()A.154B.158C.38D.34二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
4、全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022辽宁沈阳一模)某市教育局为了解双减政策的落实情况,随机在本市内抽取了A,B两所初级中学,在每一所学校中各随机抽取了200名学生,调查了他们课下做作业的时间,并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图:由直方图判断,以下说法正确的是()A.总体看,A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长B.B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长C.A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数D.B校学生做作业时长分布更接近正态分布10.甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以
5、A表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,则()A.P(A)=35B.P(B|A)=25C.P(B)=1325D.P(A|B)=91311.(2022江苏南京鼓楼校级月考)从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,设摸到白球个数为X,已知E(X)=3,则下列说法正确的是()A.D(X)=85B.D(X)=65C.m=2D.m=412.掷一个不均匀的硬币6次,每次掷出正面的概率均为23,恰好出现k次正面的概率记为Pk,则下列说法正确的是()A.P1=P5B.P1n),从中任取两名教师去西部支教,甲被抽中的概
6、率为29,一名男教师和一名女教师被抽中的概率为59,则mn=,记去支教的教师中男教师的人数是,则E()=.14.(2022黑龙江齐齐哈尔一模)橘生淮南则为橘,生于淮北则为枳,出自屡子使楚.意思是说,橘树生长在淮河以南的地方就是橘树,生长在淮河以北的地方就是枳树,现在常用来比喻一旦环境改变,事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种,使得橘树在淮北种植成功,经过科学统计,单个果品的质量(单位:g)近似服从正态分布N(90,2),且P(8690)=0.2,在有1 000个的一批橘果中,估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为.15.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、
7、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则P(B)=.16.(2022浙江模拟)某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且这三个问题回答正确与否相互之间不影响,已知对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为34,12,p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是14,则p=,在前述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的数学期望为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(
8、10分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值及方差.18.(12分)在某次数学考试中,考生的成绩服从一个正态分布,即N(90,100).(1)试求考试成绩位于区间70,110上的概率;(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩在80,100的考生大约有多少人?19.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(
9、其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).20.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数)21.(12分)“十一黄金周”期间三亚景区迎来了游客高
10、峰期.游客小李从“大小洞天”景区到“天涯海角”景区有L1,L2两条路线(如图),路线L1上有A1,A2,A3三个风景点,各风景点遇到堵塞的概率均为23;L2路线上有B1,B2两个风景点,各风景点遇到堵塞的概率依次为34,35.(1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率;(2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的旅游路线,并说明理由.22.(12分)某车间在两天内,每天生产10件产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品.质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.(1)求两天全部通过检查的概率;(2
11、)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天、2天分别奖300元、900元.那么该车间在这两天内得到奖金的均值是多少元?第七章测评1.C公式E(X)=np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算,只适用于某些离散型随机变量,故选C.2.A由15+a=1,得a=45,所以E(X)=015+145=45.3.BP(X2)=1-P(2X6)12=1-P(4-2X4+2)12=(1-0.9545)12=0.02275.4.A对于A,总体分为明确的两类,但A中的随机变量X不是抽取样本中一类元素的个数,A不服从超几何分布,其余各项服从超几何分布.故选A.5.D记“第一
12、次摸到正品”为事件A,“第二次摸到正品”为事件B,则P(A)=C61C91C101C91=35,P(AB)=C61C51C101C91=13.故P(B|A)=P(AB)P(A)=59.6.C由题意得P(X1)=P(X=1)+P(X=2)=C21p(1-p)+C22p2=59,所以p=13p=53舍去,则YB3,13,故D(Y)=3131-13=23,所以D(3Y+1)=9D(Y)=923=6.7.A根据题意,记该同学未通过测试为事件A,该同学每次投篮投中的概率为0.8,则投不中的概率为1-0.8=0.2,事件A包含2种情况,该同学5次都没有投中和只投中1次,则P(A)=C54(0.2)40.8
13、+(0.2)5=0.00672,故选A.8.A根据题意,每个坑需要补种的概率是相等的,都是123=18,所以此问题相当于独立重复试验,做了三次,每次发生的概率都是18,所以需要补种的坑的均值为318=38,所以补种费用X的均值为1038=154.9.AD由直方图可知,A校学生做作业时长大部分在12小时,而B校学生做作业时长大部分在2.53.5小时,故A正确,C错误;B校有学生做作业时长小于1小时的,而A校有学生做作业时长超过5小时的,故B错误;B校学生做作业时长分布相对A校更对称,所以更接近正态分布,故D正确.故选AD.10.ACD甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲
14、罐中随机取出一球放入乙罐,以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,对于A,易知P(A)=35,故A正确;对于B,P(AB)=3535=925,P(B|A)=P(AB)P(A)=92535=35,故B错误;对于C,P(A)=25,P(B|A)=P(AB)P(A)=252525=25,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=3535+2525=1325,故C正确;对于D,由贝叶斯公式得P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=35351325=913,故D正确.故选ACD.11.BC从装有大小相同的3个白球和
15、m个黑球的布袋中随机摸取一个球,有放回地摸取5次,每次取到白球的概率为33+m,有放回地摸取5次,摸得白球个数为X,XB5,33+m,E(X)=3,E(X)=533+m=3,解得m=2,D(X)=53525=65.12.BD由n次独立重复试验的概率计算公式可知,Pk=C6k23k1-236-k,P1=C61231135=4243,P5=C65235131=64243,显然P1n,故m=5,n=4,故mn=54,由题意可知,服从超几何分布,所以E()=259=109.14.300单个果品的质量(单位:g)近似服从正态分布N(90,2),且P(8690)=0.2,P(9094)=0.2,P(94)
16、=1-20.22=0.3,故估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为0.31000=300.15.922由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,且A1A2A3=,所以P(B)=PB(A1A2A3)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510511+210411+310411=922.16.232312对给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为34,12,p.教师甲恰好答对3个问题的概率是14,3412p=14,解得p=23.设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=1-3
17、41-121-23=124,P(X=1)=341-121-23+1-34121-23+1-341-1223=624=14,P(X=2)=34121-23+341-1223+1-341223=1124,P(X=3)=14,E(X)=0124+114+21124+314=2312.17.解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152
18、=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=C30(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=C310.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=C320.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=C330.63=0.216.故X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6),所以E(X)=30.6=1.8,D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.18.解因为N(90,100),所以=90,=100=10.(1)由于正态变量在区间-2,+2内取值的概率是0.9545,而该正态分布中,-2=90-210=70,+2
19、=90+210=110,于是考试成绩位于区间70,110内的概率为0.9545.(2)由=90,=10,得-=80,+=100.由于正态变量在区间-,+内取值的概率是0.6827,所以考试成绩位于区间80,100内的概率是0.6827.一共有2000名学生,所以考试成绩在80,100的考生大约有20000.68271365(人).19.解(1)X的所有可能取值为0,1,2,依题意得P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=C42C21C63=35,P(X=2)=C41C22C63=15.X的分布列为X012P153515(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,则P(C)=C43C63=42
20、0=15.所求概率为P(C)=1-P(C)=1-15=45.(3)P(B)=C52C63=1020=12;P(B|A)=C41C52=410=25.20.解(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P=C43+C33C93=584.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=C42C51+C43C93=1742,P(X=2)=C31C41C21+C32C61+C33C93=4384,P(X=3)=C22C71C93=112.故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)=11742+24384+3112=4728.21.解(1)设走L1路线最多遇到1次堵塞为A事件,则P(A)
21、=C30133+C3123132=727,所以走L1路线最多遇到1次堵塞的概率为727.(2)根据题意,比较选择L1,L2的期望,设选择L2路线遇到堵塞次数为X,则X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=1-341-35=110,P(X=1)=341-35+1-3435=920,P(X=2)=3435=920.故随机变量X的期望为E(X)=1100+9201+9202=2720.设选择L1路线遇到堵塞次数为Y,随机变量Y服从二项分布,YB3,23,所以E(Y)=323=2,因为E(X)E(Y),所以选择L2路线是最好的旅游线路.22.解(1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件.记“第一天通过
22、检查”为事件A,则P(A)=C94C104=35.记“第二天通过检查”为事件B,则P(B)=C84C104=13.因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的,所以两天全部通过检查的概率为P(AB)=P(A)P(B)=3513=15.(2)记所得奖金为元,则的取值为-300,300,900.P(=-300)=P(AB)=P(A)P(B)=2523=415.P(=300)=P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=3523+2513=815.P(=900)=P(AB)=15.所以,的分布列为-300300900P41581515E()=-300415+300815+90015=260.故该车间在这两天内得到奖金的均值是260元.
