1、考点一导数的概念及几何意义1(2022陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x解析法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为yx，在(2，0)处的切线方程为y3x6，以此对选项进行检验A选项，yx3x2x，显然过两个定点，又yx2x1，则y|x01，y|x23，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.法二设该三次函数为f(x)ax3bx2cxd，则f(x)3ax22bxc，由题设有解得a
2、，b，c1，d0.故该函数的解析式为yx3x2x，选A.答案A2(2022大纲全国，10)已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9 B6 C9 D6解析求导数得y4x32ax，将1代入值为8，则a6.答案D3(2022新课标全国，14)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_解析f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1)将(2，7)代入切线方程，得7(a2)(13a)，解得a1.答案14(2022新课标全国，16)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线y
3、ax2(a2)x1相切，则a_解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1，此切线与曲线yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.答案85(2022江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_解析由曲线yax2过点P(2，5)可得54a(1)又y2ax，所以在点P处的切线斜率4a(2)由(1)(2)解得a1，b2，所以ab3.答案36(2022广东，11)曲线y5ex3在点(0，2)处
4、的切线方程为_解析由y5ex3得，y5ex，所以切线的斜率ky|x05，所以切线方程为y25(x0)，即5xy20.答案5xy207(2022广东，12)若曲线yax2ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a_解析由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y2ax及导数的几何意义得y|x12a10，解得a.答案8(2022北京，20)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出
5、结论)解(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2，1上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)整理得4x6xt30.设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)，g(x)与g(x)的情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t
6、1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(1)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值
7、范围是(3，1)(3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切考点二导数的运算1(2022湖南，7)曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.解析y，所以y|x.答案B2(2022天津，11)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析f(x)aln xaxa(ln x1)，由f(1)3得，a(ln 11)3，解得a3.答案33(2022北京，18)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(
8、x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值若b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)1b，存在x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得f(x1)f(x2)b，由于函数f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，当b1时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)5
