1、第三节简单的线性规划 考点一不等式表示的平面区域1.(2022重庆，10)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A.3 B.1 C. D.3解析不等式组表示的区域如图，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB，C点横坐标xC2m，SSACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m12或2(舍)，m1.答案B2.(2022福建，11)已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A.5 B.29 C.37 D.49解析平面区域为如图所示的阴影部分的ABD，因圆心C(a，b)，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上
2、，线段MN的方程为y1(2x6)，由图形得，当点C在点N(6，1)处时，a2b2取得最大值621237，故选C.答案C3.(2022山东，6)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A. B.C.1，6 D.解析画出约束条件表示的可行域如图所示，由目标函数z3xy得直线y3xz，当直线平移至点B(2，0)时，目标函数z3xy取得最大值为6，当直线平移至点A时，目标函数z3xy取得最小值为.所以目标函数z3xy的取值范围为.答案A4.(2022福建，10)若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.1 B.1 C. D.2解析如图所示，当直线xm经过点A
3、(1，2)时，m取最大值1.故选B.答案B5.(2022安徽，13)不等式组表示的平面区域的面积为_.解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC2(22)4.答案46.(2022安徽，12)若非负变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_.解析画出约束条件对应的平面区域是第一象限的四边形区域，当目标函数yxz经过边界上点(4，0)时，zxy取得最大值4.答案4考点二简单的线性规划问题1.(2022安徽，5)已知x，y满足约束条件则z2xy的最大值是()A.1 B.2 C.5 D.1解析(x，y)在线性约束条件下的可行域如图，zmax2111.故选A.答案A2.(2022广东，
4、11)若变量x，y满足约束条件则z2x3y的最大值为()A.2 B.5 C.8 D.10解析如图，过点(4，1)时，z有最大值zmax2435.答案B3.(2022天津，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为()A.7 B.8 C.9 D.14解析作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l：3xy0，平移直线l可知，经过点A时，z3xy取得最大值，由得A(2，3)，故zmax3239.选C.答案C4.(2022陕西，11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、
5、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元解析设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).则zmax324318(万元).答案D5.(2022福建，10)变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A.2 B.1 C.1 D.2解析由图形知A，B，O(0，0).只有在B点处取最大值2，2.m1.答案C6.(2022湖北，4)若变量x，y满足约束条件则2xy的最大值是()A.2
6、 B.4 C.7 D.8解析画出可行域如图(阴影部分).设目标函数为z2xy，由解得A(3，1)，当目标函数过A(3，1)时取得最大值，zmax2317，故选C.答案C7.(2022新课标全国，9)设x，y满足约束条件则zx2y的最大值为()A.8 B.7 C.2 D.1解析约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zx2y，得yx，为直线yx在y轴上的截距，要使z最大，则需最大，所以当直线yx经过点B(3，2)时，z最大，最大值为3227，故选B.答案B8.(2022山东，10)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A.
7、5 B.4 C. D.2解析不等式组表示的平面区域为图中的阴影部分.由于a0，b0，所以目标函数zaxby在点A(2，1)处取得最小值，即2ab2.法一a2b2a2(22a)25a28a20(a4)244，即a2b2的最小值为4.法二表示坐标原点与直线2ab2上的点之间的距离，故的最小值为2，即a2b2的最小值为4.答案B9.(2022新课标全国，11)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A.5 B.3 C.5或3 D.5或3解析联立方程解得代入xay7中，解得a3或5，当a5时，zxay的最大值是7；当a3时，zxay的最小值是7，故选B.答案B10.(2022广东，4)若变
8、量x，y满足约束条件则z2xy的最大值等于()A.7 B.8 C.10 D.11解析由约束条件画出如图所示的可行域，由z2xy得y2xz.当直线y2xz过点A时，z有最大值，由得A(4，2)，zmax24210.故答案为C.答案C11.(2022新课标全国，3)设x，y满足约束条件则z2x3y的最小值是()A.7 B.6 C.5 D.3解析画出可行域，化简目标函数得截距最小时z最大，在点(3，4)取得.zmin23346.答案B12.(2022四川，8)若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A.48 B.30 C.24 D.16解析约束条件对应的平面区域是
9、第一象限的四边形区域，当目标函数yxz.经过点(8，0)时，z5yx取得最小值为b8，经过点(4，4)时取得最大值a16，所以ab24.答案C13.(2022湖北，9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A.31 200元 B.36 000元C.36 800元 D.38 400元解析设A、B两种型号的车辆的数量分别为x，y，则xy21，yx7，36x60y900，租金z1 600x2 400y.即要求在可行域内找出
10、目标函数z1 600x2 400y的最小值.作出可行域，如图，可以看出其三个顶点分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6).由图可知，当直线z1 600x2 400y经过点P(5，12)时，可以取得最小值，即最小租金为1 60052 4001236 800.故选C.答案C14.(2022山东，7)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y1的最大值为()A.11 B.10 C.9 D.8.5解析可行域如图所示，当直线2x3y1z经过点A(3，1)时，zmax2331110.故选B.答案B15.(2022新课标全国，15)若x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_.解析x，y满足条件
11、的可行域如图所示的阴影部分，当z3xy过A(1，1)时有最大值，z4.答案416.(2022新课标全国，14)若x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_.解析画出约束条件表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC.作直线l0：2xy0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线zxy在y轴上的截距最大，即z最大，解得即A(3，2)，故z最大2328.答案817.(2022北京，13)如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_.解析z2x3y，化为yxz，当直线yx在点A(2，1)处时，z取最大值，z2237.答案718.(2022湖北，12)设变量
12、x，y满足约束条件则3xy的最大值为_.解析作出约束条件表示的可行域如图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(1，3)，将三个点的坐标依次代入3xy，求得的值分别为10，6，6，比较可得3xy的最大值为10.答案1019.(2022湖南，13)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_.解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，2)，C(3，1)，画出直线2xy0，平移直线2xy0可知，z在点C(3，1)处取得最大值，所以zmax2317.答案720.(2022北京，13)若x，y满足则zxy的
13、最小值为_.解析根据题意画出可行域如图，由于zxy对应的直线斜率为，且z与x正相关，结合图形可知，当直线过点A(0，1)时，z取得最小值1.答案121.(2022浙江，12)若实数x，y满足则xy的取值范围是_.解析由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1，0)，(2，1)，代入zxy，可得1z3.答案1，322.(2022大纲全国，15)若x，y满足约束条件则zxy的最小值为_.解析画出可行域如图所示.画出直线2xy0，并平移，当直线经过点A(3，3)时，z取最大值，且最大值为z2333.答案323.(2022湖南，13)若变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_.解析画出可行域，令zxy，易知z在A(4，2)处取得最大值6.答案611
