1、数学思想方法较之数学基础知识，具有更高的层次，具有理性的地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决数学思想方法是数学知识的精髓是知识转化为能力的桥梁，近几年的高考越来越注重对数学思想方法的考查 高考对数学思想方法的考查贯穿于试卷全过程，其中选择题、填空题虽主要考查数学学科中的基础知识和基本技能，但对数学思想方法的考查也蕴涵其中；解答题中，则以具体知识为载体，在更深层次上突出考查数学思想方法第27讲 选择题、填空题的解法一、选择题的解法近两年高考数学选择题稳定在8个，分值为40分，约占全卷的27%.选择题的解答，直接影响着每一位考生的答题情绪，所以探究选择题的
2、速解策略、提高解答速度和得分率尤为重要解答时应该突出一个“选”字，尽量减少解题过程，在对照选择支的同时，多方面考虑间接解法数学选择题具有下列特点：相关相近，真伪难分；含蓄多变，解法奇特；知识点多，跨度较大这些特点决定了数学选择题有着特定的解题思路，概括如下：1仔细审题、吃透题意审题是正确解题的前提，关键在于：将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中反应；发现题目中的一些重要的隐含条件2反复析题、去伪存真析题就是剖析题意在认真审题的基础上，对全题进行细致的分析，为正确解题寻好路径由于选择支相近、相关，因而在析题时对照选择支就显得非常重要，对于一些似是而非的选项，考生可以结合题目条件，加以分析与验
3、证，提高选择的正确率3抓住关键、全面分析通过审题、析题后找到解题的关键步骤，从关键处入手，快速地形成正确的解题思路，化难为易、化繁为简高考选择题中的多数可用特殊的方法快速解答例如：估值选择法、特值检验法、顺推破解法、数形结合法、特征分析法、逆推验证法等都是常用的解法4反复检查、认真核对对得出的结果细心检查、认真核对，也是解选择题必不可少的一个步骤解选择题的常用方法有：直接法、特例法、排除法、验证法、数形结合法等1直接法例1(1)已知a，b，c是直线，是平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a与b是异面直线，且a，则b与相交其中真命题的个数是()A1
4、B2C3D4A【解析】中ab，bc，则a与c可能平行，相交或异面；正确；中a与b可能平行或异面；中b与可能相交，平行或b.故选A.(2)正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63D【解析】BB1DD1 BB1 与面 ACD1所成的角与 DD1 与面 ACD1 所成的角相等 设 DO面 ACD1，由 VDACD1VD1ACD，得13SACD1DO13SACDDD1 设 DD1a，则 SACD112ACAD1sin60 32 a2 SACD12ADCD12a2 DOSACDDD1SACD1 a33a2 33 a 【点评】运用直
5、接法求解时，要注意题设条件的特点，利用相关性质和结论，简化运算过程，快速得到结果记 DD1 与平面 ACD1 所成的角为，则 sin DODD1 33，cos 63，选 D.2特例法例2(1)若 a0，0b1，那么()Aaabab2Bab2abaCabaab2Dabab2aB【解析】令 a1，b12，则 ab12，ab214 显然14121 故 ab2aba，选 B.(2)已知函数 f(x)|lgx|（0 x10）12x6（x10）若 a，b，c均不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是()A(1，10)B(5，6)C(10，12)D(20，24)C【解析】不妨设 abc
6、.取 f(a)f(b)f(c)12则 a1210，b1210，c11从而 abc11，选 C.【点评】用特殊值法解题时要注意：(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选取某一特例出现两个或两个以上选项都正确时，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止3排除法例3(1)设函数 f(x)log2x（x0）log12（x）（x0），若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)C【解析】取a2验证满足题意，排除A、D，取a2验证不满足题意，排除
7、B，故选C.(2)函数 f(x)的部分图象如图，则 f(x)的解析式可能是()Af(x)xsinxBf(x)cosxxCf(x)xcosxDf(x)x(x2)(x32)C【点评】直接推导计算出答案较困难时，可根据只有唯一正确答案特点，通过排除法去掉错误答案，间接地得出正确答案【解析】由函数图象关于原点对称，可知 f(x)为奇函数，所以可排除 D.又图象过原点，所以可排除 B.又当 f(x)xsinx 时，f(x)1cosx0，此时 f(x)在 R 上为增函数，可排除 A，故选 C.4验证法例4(1)f(x)x2 （x0）x2（x0），则不等式 f(x)x2的解集为()A1，1 B2，2C2，1
8、 D1，2A【解析】直接求解不等式费时费力，可根据选择支的差异逐一验证 可取 x2 验证：f(2)022，故 2 不是不等式的解，可排除 B、D；取 x2，则 f(2)0(2)2，故2 也不是，可排除 C，故选 A.(2)已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 F(7，0)，直线 yx1 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐标为23，则此双曲线的方程为()A.x23 y241 B.x24 y231C.x25 y221 D.x22 y251D【解析】根据已知直接求方程运算量过大，可逐一验证各选项由选择支B、C中渐近线的斜率小于1，且a1，故直线与双曲线若存在两交点，则必在双曲线右支上，其中点横
9、坐标大于，故B、C不正确再将yx1分别代入A、D方程，利用两根之和是否等于验证，可知A不满足，只有D满足，故选D.5数形结合法例5已知直线 xya 与圆 x2y24 交于 A、B 两点，且|OA OB|OA OB|(其中 O 为坐标原点)，则实数 a 的值为()A2 B2C2 或2 D.6或 6C 【解析】如图所示，由|OA OB|OA OB|可得：OA OB，结合图形，直线恰好经过圆和两轴的交点，故 a2.【点评】直线和圆的位置关系可通过方程或转化为点到直线的距离与圆半径之间的关系问题求解，如果在直角坐标系中画出直线和圆，则该题的答案一目了然 例6若直线 ykx1 与双曲线 x2y24 有且
10、只有一个交点，则实数 k 的取值范围为()A1，1，52，52 B(，52)52，)C(，1)1，)D(，1)52，)A【解析】首先，应用方程组方法研究直线和圆锥曲线的关系，注意相切的条件，代入整理得(1k2)x22kx50，0，k，又注意到直线恒过点(0，1)且渐近线的斜率为1，由运动变化的观点知选A.【点评】解决直线和双曲线的位置关系问题，要结合渐近线的特殊性来解决问题本题的新意在于，既要用到方程组进行计算，又要用几何直观方法，简化运算，是数形结合方法的突出体现二、填空题的解法填空题是高考试题中客观题型之一，具有小巧灵活，结构简单，概念性强，运算量不大，不需要写出求解过程而只需直接写出结论
11、等特点突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力近两年，高考填空题的分值为35分，就分值来看，是不可轻视的但很多考生在填空题上失分比较严重，因此拉开了不同程度的考生之间的得分差距，有很好的区分度因而，考生须重视对填空题解法的探讨和研究，要重视对填空题进行专项训练基于填空题的特点，考生在答题时：一方面必须严肃认真，不能有任何差错；另一方面，也要追求快捷解法，提高解题效率解答填 空 题的基 本 要求是：“正 确、合理、迅速”一般来讲，每道题都应力争在13分钟内完成填空题缺少选项提供的目标信息，结果正确与否难以判断，一步失误，全题零分准确快速答好填空题，基本策略是在“巧做”二字上
12、下工夫，基本方法有：直接求解法，图象法和特殊化法(特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法等)，归纳法等其难度不低于选择题，但对考生基本功的考查，又高于选择题的要求 解答填空题应注意以下几点：1结果书写要规范，如分数的分母不能含根式、特殊角的三角函数要写出函数值、近似计算要达到精确度要求等；2结果要完整，如求函数解析式不能缺少定义域、应用题不要忘写单位、求轨迹要排除不满足条件的点等；3结果要符合教材要求，如求某一参数的取值范围或求不等式的解，要用集合或区间表示，不能只用一个不等式表示解填空题的常用方法有：直接法、特例法、数形结合法、综合法等
13、1直接法例1(1)若函数 f(x)mloga(x3)的图象恒过点(4，4)，则 g(x)mx2m2x4的最大值是_4【解析】本题如果利用导数研究函数的单调性，再求最值，则求解过程复杂繁琐结合式子本身的特征，可以先根据已知确定m的值，再将分子化成定值，构造出利用均值不等式求解最值的式子，即可得到结果由已知可得f(4)4，故 mloga14，解得 m4.故 g(x)4x242x4164x42x4164x 44x，因为 4x0，所以 4x 44x24x 44x4(当且仅当 4x 44x，即 xlog4212时等号成立)，所以 g(x)164 4，即 g(x)的最大值为 4.(2)已知 tan(x4)
14、2，则 tanxtan2x的值为_4/9【解析】因为 tan(x4)2，所以tanxtan(x4 4)tan（x4）1tan（x4）113，所以 tanxtan2xtanx2tanx1tan2x1tan2x249.【点评】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键2特例法例2(1)在锐角三角形 ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，baab6cosC，则tanCtanAtanCtanB_4【解析】令 AB(即 ab)，则 cosC1
15、3，tan2C21cosC1cosC12，tanC2 22，tanAtanB 1tanC2 2.又 tanC2 2，所以tanCtanAtanCtanB4.(2)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 xf(x1)(1x)f(x)，则 f(52)_0【解析】因为 xf(x1)(1x)f(x)，所以f（x1）f（x）1xx，使 f(x)特殊化，可设 f(x)xg(x)，其中 g(x)是周期为 1 的奇函数，再将 g(x)特殊化，可设 g(x)sin2x，则 f(x)xsin2x，经验证 f(x)xsin2x 满足题意，则 f(52)0.【点评】求解(1
16、)，由题意我们发现对特殊的三角形，即等腰三角形条件符合，因此利用AB(即ab)解决问题，显得简便易行求解本题的一般方法主要是借助于解三角形的正、余弦定理并结合切化弦的方法来综合求解求解(2)，取g(x)sin2x，经验证很快可以给出结果3数形结合法例3(1)已知函数 f(x)log2x（x0），3x（x0）且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a的取值范围是_(1，)【解析】由于无法直接求出方程 f(x)xa0 的实根，所以把方程的实根问题转化为函数 yf(x)与 yax 的图象交点问题，进而利用函数图象直接得到结论方程 f(x)xa0 的实根也就是函数 yf(x)与
17、yax 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数的图象，显然当 a1时，两个函数的图象有两个交点；当 a1 时，两个函数图象的交点只有一个，所以实数 a 的取值范围是(1，)(2)定义在区间(0，2)上的函数 y6cosx 的图象与y5tanx 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为_2/3【解析】此题考查三角函数图象和同角三角函数关系，涉及图象问题，应运用数形结合思想进行转化如图所示，线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，且其中的 x 满足 6cosx5tanx，解得 sinx23，即线段 P
18、1P2 的长为23.【点评】数形结合大致有以下两条途径：(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究曲线的几何性质，这种思想在解析几何中最常见；(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如果能通过构造与之相应的图形进行分析，则能使问题获得更直观的解法，这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有所体现，特别是在求方程解的个数，解不等式、求最值等问题中的应用更常见4综合法例4(1)关于 x 的不等式 loga(2ax)0 在1，2上恒成立，则实数 a 的取值范围为_(0，1/2)【解析】设 f(x)loga(2ax)，注意到 01 时，f(x)为减函数，f(x)的最大值为 f(1)
19、当 0a1，f（1）0，或0a1，f（2）0 在1，2上恒成立，则有 22a0，得 a1，则所求 a 的取值范围为(0，12)【点评】由于“一次函数和常函数在区间上的图象是一条线段”，故它们在区间上的最值问题只需研究区间端点的函数值的符号，就可确定其在区间上的性质本题在求解时往往由于忽视定义域，缺少“内层的值域必须在外层的定义域内”的认识而错得 a(0，12)(1，)(2)已知 k 是常数，若双曲线 x2k5y22|k|1 的焦距与 k 的取值无关，则 k 的取值范围是_(2，0【解析】(k5)(2|k|)5 或 0k2 或25 或 0k2 时，c2a2b2|k52k|2k7|，与题意不符，故
20、舍去；当2b0)，焦点在 x 轴上且 c2a2b2(c 为半焦距)，焦点(c，0)，x2b2y2a21(ab0)，焦点在 y 轴上且 c2a2b2，焦点(0，c)；(2)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，焦点在 x 轴上且 c2a2b2，焦点(c，0)，y2a2x2b21(a0，b0)，焦点在 y 轴上且 c2a2b2，焦点(0，c)1已知函数 f(x)mcosx（x0）x2（x0 时，f(x)2sinx，所以 f(6)1，即切线的斜率为1，所以切线的倾斜角为34，故选 D.2如图，AB 是平面 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面 内运动，使ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是(
21、)A圆B椭圆C一条直线D两条平行线B【解析】当 P 在无穷远处时，点 P 到 AB 的距离是无穷大，又 AB 长为定值，故面积也无穷大，所以C、D 不正确，可排除又设 AB 边上的高为 h，则 h 为定值，当 APAB 时，APh，否则 APh，所以点 P 的轨迹不可能是圆，可排除 A.故选 B.3函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB，点A 的坐标为(1，2)，点 B 的坐标为(3，0)，定义函数 g(x)f(x)(x1)，则函数 g(x)的最大值为()A0 B1 C2 D4B【解析】由图可知 f(x)2x （0 x1）x3 （1x3），所以 g(x)2x（x1）（0 x1）（x3）
22、（x1）（1x3）.当 0 x2，故选 B.5已知向量集合 Ma|a(1，2)(3，4)，R，Na|a(2，2)(4，5)，R，则 MN()A(1，1)B(1，1)，(2，2)C(2，2)DC【解析】方法一：验证向量 a(1，1)和(2，2)是否是 M、N 中的元素，可排除 A、B、D，故选 C.方法二：数形结合，M 表示过点(1，2)，斜率为43的直线，N 表示过点(2，2)，斜率为54的直线，其交点为(2，2)，故选 C.6a，b，c 分别是方程 xlog3x3，xlog4x3，xlog3x1 的解，则 a，b，c 的大小关系为()AbacBcabCabcDcbaA【解析】注意函数方程之间
23、的对应关系，方程根的问题转化为两函数图象的交点问题，特别是对含指数和对数方程的问题，利用对数图象的分布规律寻求简化的思维切入点，如图在同一坐标系下作出 y1x，y3x，ylog3x，ylog4x 的图象，注意对数函数图象的分布规律和交点的意义及位置bac1，故选 A.【点评】利用方程和函数的对应关系，将方程根的问题转化为用图象法研究函数位置关系的问题，是等价转化、方程思想、数形结合思想和方法的具体应用特别对于出现超越方程(指数或对数方程)的有关问题，更应当想到利用数形结合法化归图象位置关系7i 是虚数单位，复数(3i13i)2 013 的值为()A1 Bi Ci D1B【解析】3i1 3i（3
24、i）（1 3i）（1 3i）（1 3i）4i4i故(3i1 3i)2 013i2 013i，选 B.8设不等式组0 x20y2，所表示的区域为 A，现向区域 A 中任意丢进一个粒子，则粒子落在直线 y12x 上方的概率为_3/4【解析】由不等式组画出可行域是边长为 2 的正方形，其面积为 4.又阴影部分的面积为 412213，故该粒子落在直线 y12x 上方的概率为34.9根据下面的程序框图，若输入 a4，n3，则输出 a_，i_243【解析】显然 i3 时，a 能被 n 整除，此时循环体运行 3 次，a414，i2a428，i3a8324，输出结果 a24，i3.10若 f(x)asin(x
25、4)bsin(x4)(ab0)是偶函数，则有序数对(a，b)可以是_(写出你认为正确的一组数字即可)(1，1)【解析】(特例法)因为 f(x)是偶函数，则 f(4)f(4)，所以 asin2 bsin0asin0bsin(2)，即 ab，所以 a，b 互为相反数且不为 0.11三棱锥 OABC 中，已知 OA、OB、OC 两两垂直，且 OA2，OB3，OC4，则三棱锥 OABC 的外接球的体积是_，球的表面积是_29 29629【解析】由已知可知，三棱锥 OABC 的外接球即以 OA、OB、OC 为共顶点的三条棱的长方体的外接球，其直径即为长方体对角线长所以 2R 223242 29，所以 V
26、 球43R329 296，S4R229.12给出下列命题圆(x2)2(y1)21 关于点 M(1，2)对称的圆的方程是(x3)2(y3)21；椭圆 x23m2 y25n21 和双曲线 x22m2 y23n21 有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为 y 34 x；顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过(4，3)的抛物线方程只能是 y294x；P、Q 是椭圆 x24y216 上两个动点，O 为原点，直线 OP、OQ 的斜率之积为14，则|OP|2|OQ|2等于定值 20.把你认为正确的命题的序号填在横线上_【解析】逐个判断：(2，1)关于 M(1，2)的对称点应为(0，3)，故不正确；由已知 3m25n22m23n2，所以 m28n2，故双曲线渐近线方程为 y3n22m2x 34 x，正确；对称轴可为 x 轴，也可为 y 轴，即还可以是 x2163 y，故不正确；设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，OP 的斜率为 k，则 OQ 的斜率为 14k，所以 y1kx1，y2x24k.由 x124y1216，得 x12164k21；由 x224y2216，得 x22164k24k21，所以|OP|2|OQ|2x12x22y12y22164x1244x224 2414(x12x22)20故正确，所以选.
